Benutzer:Jobu0101/Mathematisches

Diese Seite soll der Zusammenfassung kleiner mathematischer Exkursionen meiner Unterseiten dienen, so dass sich die ehemalige Vielzahl auf nur ein paar Seiten beschränkt.

Ableitung

Funktionen, die sich durch Ableiten reproduzieren:

• $f(x)=e^{x}$
• $f(x)=e^{-x}$
• $f(x)=\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}x\right)e^{-{\frac {x}{2}}}$
• $f(x)=\sin(x)\,$

Interessante Ableitungen:

• $f(x)=\ln \left({\frac {1}{\sin(x)}}-{\frac {1}{\tan(x)}}\right)$

Beweis

Um den Stellenwert eines Beweises für einen Mathematiker zu verdeutlichen, hier ein Zitat eines bedeutenden Mathematikers (Godfrey Harold Hardy) seinem besten Freund gegenüber:

Wenn ich durch reine Logik beweisen könnte, dass du in fünf Minuten sterben müsstest, täte mir dein Tod natürlich Leid, doch mein Schmerz würde durch die Freude über den Beweis sehr gelindert.

Ein wenig Logik

$A\equiv \neg \neg A$

$A\Rightarrow B\equiv \neg A\lor B\equiv B\lor \neg A\equiv \neg B\Rightarrow \neg A$

$A\land B\equiv \neg (\neg A\lor \neg B)$

$A\lor B\equiv \neg (\neg A\land \neg B)$

$A\Leftrightarrow B\equiv (A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow A)$

Geburtstage

Die Wahrscheinlichkeit P(n), dass in einer Menge von n Leuten mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, ist:

$P(n)=1-\prod _{i=1}^{n}{\frac {366-i}{365}},n\in \mathbb {N}$

Bei dieser Formel werden Schaltjahre außen vor gelassen und jedes Geburtsdatum als gleich wahrscheinlich angesehen.

Wie bei der Formel schnell ersichtlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit für n > 365 = 1. Das kommt in der Formel zum Ausdruck durch die Multiplikation mit 0 (366-366) und ist auch an der Aufgabe selbst zu verstehen. Das Jahr hat schließlich nur 365 Tage, so muss spätestens Person 366 sich einen Tag mit einer der vorherigen Personen teilen.

Eine alternative Formel ist folgende:

$P(n)=\sum _{k=0}^{n-2}\left({\frac {k+1}{365}}\cdot \prod _{i=0}^{k}{\frac {365-i}{365}}\right)$

Mir persönlich gefällt jedoch die obige besser, da man mit ihr mit wesentlich weniger Rechenschritten zum Ziel kommt und kein inneres Produkt berechnen muss.

Die Wahrscheinlichkeit $P_{m}(n)$, dass in einer Menge von n Leuten mindestens m am heutigen Tag Geburtstag haben, ist:

$P_{m}(n)={n \choose m}\cdot \left({\frac {1}{365}}\right)^{m},n\geq m$

Zehn hoch n

Folgende gültige Aussage ist zu beweisen:

$10^{n}=\sum _{m=0}^{n}\left({n \choose m}\cdot {\frac {19^{m}}{2^{n}}}\right)$

Beweis:

$10^{n}=\left({\frac {19+1}{2}}\right)^{n}={\frac {(19+1)^{n}}{2^{n}}}={\frac {1}{2^{n}}}\cdot (19+1)^{n}={\frac {1}{2^{n}}}\cdot \sum _{m=0}^{n}\left({n \choose m}\cdot 19^{m}\right)=\sum _{m=0}^{n}\left({n \choose m}\cdot {\frac {19^{m}}{2^{n}}}\right)$