(31,15,7) block plan

The (31,15,7) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 31 × 31 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 15 ones and any two rows have exactly 7 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 31, k = 15, λ = 7) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .

designation

This symmetrical 2- (31,15,7) block diagram is called the Hadamard block diagram of the 8th order.

properties

This symmetrical block diagram has the parameters v = 31, k = 15, λ = 7 and thus the following properties:

It consists of 31 blocks and 31 points.
Each block contains exactly 15 points.
Every 2 blocks intersect at exactly 7 points.
Each point lies on exactly 15 blocks.
Each 2 points are connected by exactly 7 blocks.

Existence and characterization

There are at least 22478260 non-isomorphic 2- (31.15.7) block plans. Six of these solutions are:

Solution 1 with the signature 31 120. It contains 465 ovals of the 2nd order.
Solution 2 with the signature 31 560. It contains 465 ovals of the 2nd order.
Solution 3 with the signature 24 · 24, 7 · 64. It contains 465 ovals of the 2nd order.
Solution 4 with the signature 6x24, 16x36, 6x56, 3x96. It contains 465 ovals of the 2nd order.
Solution 5 ( dual to solution 6) with the signature 7 · 24, 16 · 42, 7 · 72, 1 · 112. It contains 465 ovals of the 2nd order.
Solution 6 ( dual to solution 5) with the signature 14 · 36, 14 · 52, 3 · 112. It contains 465 ovals of the 2nd order.

List of blocks

All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list

Solution 1

  1   2   3   4   6   7   9  10  14  17  22  23  24  26  28
  2   3   4   5   7   8  10  11  15  18  23  24  25  27  29
  3   4   5   6   8   9  11  12  16  19  24  25  26  28  30
  4   5   6   7   9  10  12  13  17  20  25  26  27  29  31
  1   5   6   7   8  10  11  13  14  18  21  26  27  28  30
  2   6   7   8   9  11  12  14  15  19  22  27  28  29  31
  1   3   7   8   9  10  12  13  15  16  20  23  28  29  30
  2   4   8   9  10  11  13  14  16  17  21  24  29  30  31
  1   3   5   9  10  11  12  14  15  17  18  22  25  30  31
  1   2   4   6  10  11  12  13  15  16  18  19  23  26  31
  1   2   3   5   7  11  12  13  14  16  17  19  20  24  27
  2   3   4   6   8  12  13  14  15  17  18  20  21  25  28
  3   4   5   7   9  13  14  15  16  18  19  21  22  26  29
  4   5   6   8  10  14  15  16  17  19  20  22  23  27  30
  5   6   7   9  11  15  16  17  18  20  21  23  24  28  31
  1   6   7   8  10  12  16  17  18  19  21  22  24  25  29
  2   7   8   9  11  13  17  18  19  20  22  23  25  26  30
  3   8   9  10  12  14  18  19  20  21  23  24  26  27  31
  1   4   9  10  11  13  15  19  20  21  22  24  25  27  28
  2   5  10  11  12  14  16  20  21  22  23  25  26  28  29
  3   6  11  12  13  15  17  21  22  23  24  26  27  29  30
  4   7  12  13  14  16  18  22  23  24  25  27  28  30  31
  1   5   8  13  14  15  17  19  23  24  25  26  28  29  31
  1   2   6   9  14  15  16  18  20  24  25  26  27  29  30
  2   3   7  10  15  16  17  19  21  25  26  27  28  30  31
  1   3   4   8  11  16  17  18  20  22  26  27  28  29  31
  1   2   4   5   9  12  17  18  19  21  23  27  28  29  30
  2   3   5   6  10  13  18  19  20  22  24  28  29  30  31
  1   3   4   6   7  11  14  19  20  21  23  25  29  30  31
  1   2   4   5   7   8  12  15  20  21  22  24  26  30  31
  1   2   3   5   6   8   9  13  16  21  22  23  25  27  31

Solution 2

  1   2   3   4   6   7   9  12  13  19  20  21  24  28  30
  2   3   4   5   7   8  10  13  14  20  21  22  25  29  31
  1   3   4   5   6   8   9  11  14  15  21  22  23  26  30
  2   4   5   6   7   9  10  12  15  16  22  23  24  27  31
  1   3   5   6   7   8  10  11  13  16  17  23  24  25  28
  2   4   6   7   8   9  11  12  14  17  18  24  25  26  29
  3   5   7   8   9  10  12  13  15  18  19  25  26  27  30
  4   6   8   9  10  11  13  14  16  19  20  26  27  28  31
  1   5   7   9  10  11  12  14  15  17  20  21  27  28  29
  2   6   8  10  11  12  13  15  16  18  21  22  28  29  30
  3   7   9  11  12  13  14  16  17  19  22  23  29  30  31
  1   4   8  10  12  13  14  15  17  18  20  23  24  30  31
  1   2   5   9  11  13  14  15  16  18  19  21  24  25  31
  1   2   3   6  10  12  14  15  16  17  19  20  22  25  26
  2   3   4   7  11  13  15  16  17  18  20  21  23  26  27
  3   4   5   8  12  14  16  17  18  19  21  22  24  27  28
  4   5   6   9  13  15  17  18  19  20  22  23  25  28  29
  5   6   7  10  14  16  18  19  20  21  23  24  26  29  30
  6   7   8  11  15  17  19  20  21  22  24  25  27  30  31
  1   7   8   9  12  16  18  20  21  22  23  25  26  28  31
  1   2   8   9  10  13  17  19  21  22  23  24  26  27  29
  2   3   9  10  11  14  18  20  22  23  24  25  27  28  30
  3   4  10  11  12  15  19  21  23  24  25  26  28  29  31
  1   4   5  11  12  13  16  20  22  24  25  26  27  29  30
  2   5   6  12  13  14  17  21  23  25  26  27  28  30  31
  1   3   6   7  13  14  15  18  22  24  26  27  28  29  31
  1   2   4   7   8  14  15  16  19  23  25  27  28  29  30
  2   3   5   8   9  15  16  17  20  24  26  28  29  30  31
  1   3   4   6   9  10  16  17  18  21  25  27  29  30  31
  1   2   4   5   7  10  11  17  18  19  22  26  28  30  31
  1   2   3   5   6   8  11  12  18  19  20  23  27  29  31

Solution 3

  2   4   6   8  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28  30
  1   4   5   8   9  12  13  16  17  20  21  24  25  28  29
  3   4   7   8  11  12  15  16  19  20  23  24  27  28  31
  1   2   3   8   9  10  11  16  17  18  19  24  25  26  27
  2   5   7   8  10  13  15  16  18  21  23  24  26  29  31
  1   6   7   8   9  14  15  16  17  22  23  24  25  30  31
  3   5   6   8  11  13  14  16  19  21  22  24  27  29  30
  1   2   3   4   5   6   7  16  17  18  19  20  21  22  23
  2   4   7   9  11  13  14  16  18  20  23  25  27  29  30
  1   4   5  10  11  14  15  16  17  20  21  26  27  30  31
  3   4   6   9  10  13  15  16  19  20  22  25  26  29  31
  1   2   3  12  13  14  15  16  17  18  19  28  29  30  31
  2   5   6   9  11  12  15  16  18  21  22  25  27  28  31
  1   6   7  10  11  12  13  16  17  22  23  26  27  28  29
  3   5   7   9  10  12  14  16  19  21  23  25  26  28  30
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
  2   4   6   8  10  12  14  17  19  21  23  25  27  29  31
  1   4   5   8   9  12  13  18  19  22  23  26  27  30  31
  3   4   7   8  11  12  15  17  18  21  22  25  26  29  30
  1   2   3   8   9  10  11  20  21  22  23  28  29  30  31
  2   5   7   8  10  13  15  17  19  20  22  25  27  28  30
  1   6   7   8   9  14  15  18  19  20  21  26  27  28  29
  3   5   6   8  11  13  14  17  18  20  23  25  26  28  31
  1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31
  2   4   7   9  11  13  14  17  19  21  22  24  26  28  31
  1   4   5  10  11  14  15  18  19  22  23  24  25  28  29
  3   4   6   9  10  13  15  17  18  21  23  24  27  28  30
  1   2   3  12  13  14  15  20  21  22  23  24  25  26  27
  2   5   6   9  11  12  15  17  19  20  23  24  26  29  30
  1   6   7  10  11  12  13  18  19  20  21  24  25  30  31
  3   5   7   9  10  12  14  17  18  20  22  24  27  29  31

Solution 4

  2   4   6   8  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28  30
  1   4   5   8   9  12  13  16  17  20  21  24  25  28  29
  3   4   7   8  11  12  15  16  19  20  23  24  27  28  31
  1   2   3   8   9  10  11  16  17  18  19  24  25  26  27
  2   5   7   8  10  13  15  16  18  21  23  24  26  29  31
  1   6   7   8   9  14  15  16  17  22  23  24  25  30  31
  3   5   6   8  11  13  14  16  19  21  22  24  27  29  30
  1   2   3   4   5   6   7  16  17  18  19  20  21  22  23
  1   2   3  12  13  14  15  16  17  18  19  28  29  30  31
  1   4   6  10  11  13  15  16  17  20  22  26  27  29  31
  1   5   7  10  11  12  14  16  17  21  23  26  27  28  30
  2   4   7   9  11  13  14  16  18  20  23  25  27  29  30
  2   5   6   9  11  12  15  16  18  21  22  25  27  28  31
  3   4   5   9  10  14  15  16  19  20  21  25  26  30  31
  3   6   7   9  10  12  13  16  19  22  23  25  26  28  29
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
  2   4   6   8  10  12  14  17  19  21  23  25  27  29  31
  1   4   5   8   9  12  13  18  19  22  23  26  27  30  31
  3   4   7   8  11  12  15  17  18  21  22  25  26  29  30
  1   2   3   8   9  10  11  20  21  22  23  28  29  30  31
  2   5   7   8  10  13  15  17  19  20  22  25  27  28  30
  1   6   7   8   9  14  15  18  19  20  21  26  27  28  29
  3   5   6   8  11  13  14  17  18  20  23  25  26  28  31
  1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31
  1   2   3  12  13  14  15  20  21  22  23  24  25  26  27
  1   4   6  10  11  13  15  18  19  21  23  24  25  28  30
  1   5   7  10  11  12  14  18  19  20  22  24  25  29  31
  2   4   7   9  11  13  14  17  19  21  22  24  26  28  31
  2   5   6   9  11  12  15  17  19  20  23  24  26  29  30
  3   4   5   9  10  14  15  17  18  22  23  24  27  28  29
  3   6   7   9  10  12  13  17  18  20  21  24  27  30  31

Solution 5

  2   4   6   8  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28  30
  1   4   5   8   9  12  13  16  17  20  21  24  25  28  29
  3   4   7   8  11  12  15  16  19  20  23  24  27  28  31
  1   2   3   8   9  10  11  16  17  18  19  24  25  26  27
  2   5   7   8  10  13  15  16  18  21  23  24  26  29  31
  1   6   7   8   9  14  15  16  17  22  23  24  25  30  31
  3   5   6   8  11  13  14  16  19  21  22  24  27  29  30
  1   2   3   4   5   6   7  16  17  18  19  20  21  22  23
  1   2   4  11  13  14  15  16  17  18  20  27  29  30  31
  1   3   7  10  12  13  14  16  17  19  23  26  28  29  30
  1   5   6  10  11  12  15  16  17  21  22  26  27  28  31
  2   3   5   9  12  14  15  16  18  19  21  25  28  30  31
  2   6   7   9  11  12  13  16  18  22  23  25  27  28  29
  3   4   6   9  10  13  15  16  19  20  22  25  26  29  31
  4   5   7   9  10  11  14  16  20  21  23  25  26  27  30
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
  2   4   6   8  10  12  14  17  19  21  23  25  27  29  31
  1   4   5   8   9  12  13  18  19  22  23  26  27  30  31
  3   4   7   8  11  12  15  17  18  21  22  25  26  29  30
  1   2   3   8   9  10  11  20  21  22  23  28  29  30  31
  2   5   7   8  10  13  15  17  19  20  22  25  27  28  30
  1   6   7   8   9  14  15  18  19  20  21  26  27  28  29
  3   5   6   8  11  13  14  17  18  20  23  25  26  28  31
  1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31
  1   2   4  11  13  14  15  19  21  22  23  24  25  26  28
  1   3   7  10  12  13  14  18  20  21  22  24  25  27  31
  1   5   6  10  11  12  15  18  19  20  23  24  25  29  30
  2   3   5   9  12  14  15  17  20  22  23  24  26  27  29
  2   6   7   9  11  12  13  17  19  20  21  24  26  30  31
  3   4   6   9  10  13  15  17  18  21  23  24  27  28  30
  4   5   7   9  10  11  14  17  18  19  22  24  28  29  31

Solution 6

  2   4   6   8   9  10  11  16  18  20  22  24  25  26  27
  1   4   5   8   9  12  13  16  17  20  21  24  25  28  29
  3   4   7   8  10  12  14  16  19  20  23  24  26  28  30
  1   2   3   8   9  14  15  16  17  18  19  24  25  30  31
  2   5   7   8  11  12  15  16  18  21  23  24  27  28  31
  1   6   7   8  11  13  14  16  17  22  23  24  27  29  30
  3   5   6   8  10  13  15  16  19  21  22  24  26  29  31
  1   2   3   4   5   6   7  16  17  18  19  20  21  22  23
  2   4   6  12  13  14  15  16  18  20  22  28  29  30  31
  1   4   5  10  11  14  15  16  17  20  21  26  27  30  31
  3   4   7   9  11  13  15  16  19  20  23  25  27  29  31
  1   2   3  10  11  12  13  16  17  18  19  26  27  28  29
  2   5   7   9  10  13  14  16  18  21  23  25  26  29  30
  1   6   7   9  10  12  15  16  17  22  23  25  26  28  31
  3   5   6   9  11  12  14  16  19  21  22  25  27  28  30
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
  2   4   6   8   9  10  11  17  19  21  23  28  29  30  31
  1   4   5   8   9  12  13  18  19  22  23  26  27  30  31
  3   4   7   8  10  12  14  17  18  21  22  25  27  29  31
  1   2   3   8   9  14  15  20  21  22  23  26  27  28  29
  2   5   7   8  11  12  15  17  19  20  22  25  26  29  30
  1   6   7   8  11  13  14  18  19  20  21  25  26  28  31
  3   5   6   8  10  13  15  17  18  20  23  25  27  28  30
  1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31
  2   4   6  12  13  14  15  17  19  21  23  24  25  26  27
  1   4   5  10  11  14  15  18  19  22  23  24  25  28  29
  3   4   7   9  11  13  15  17  18  21  22  24  26  28  30
  1   2   3  10  11  12  13  20  21  22  23  24  25  30  31
  2   5   7   9  10  13  14  17  19  20  22  24  27  28  31
  1   6   7   9  10  12  15  18  19  20  21  24  27  29  30
  3   5   6   9  11  12  14  17  18  20  23  24  26  29  31

Incidence matrix

This is a representation of the incidence matrix of this block diagram; see this illustration to understand this matrix

Solution 1

O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . .
. O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . .
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. . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O
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Solution 2

O O O O . O O . O . . O O . . . . . O O O . . O . . . O . O .
. O O O O . O O . O . . O O . . . . . O O O . . O . . . O . O
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Solution 3

. O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O .
O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . .
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Solution 4

. O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O .
O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . .
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Solution 5

. O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O .
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Solution 6

. O . O . O . O O O O . . . . O . O . O . O . O O O O . . . .
O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . .
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. . O . O O . . O . O O . O . . O O . O . . O O . O . . O . O

Cyclical representation

There are cyclical representations ( Singer cycle ) for two solutions of this block diagram, they are isomorphic to the respective above list of blocks. Starting from the block shown, the remaining blocks of the block plan are obtained by cyclic permutation of the points it contains.

Solution 1

  1   2   3   4   6   7   9  10  14  17  22  23  24  26  28

Solution 2

  1   2   3   4   6   7   9  12  13  19  20  21  24  28  30

oval

An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here is an example of a maximum order oval for each solution to this block diagram:

Solution 1

  1   2

Solution 2

  1   2

Solution 3

  1   2

Solution 4

  1   2

Solution 5

  1   2

Solution 6

  1   2

literature

Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .

Individual evidence

^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.

[1] Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.