(49,16,5) block plan
The (49,16,5) block plan is a special symmetrical block plan . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 49 × 49 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 16 ones and any two rows have exactly 5 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 49, k = 16, λ = 5) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .
properties
This symmetrical block diagram has the parameters v = 49, k = 16, λ = 5 and thus the following properties:
- It consists of 49 blocks and 49 points.
- Each block contains exactly 16 points.
- Every 2 blocks intersect in exactly 5 points.
- Each point lies on exactly 16 blocks.
- Each 2 points are connected by exactly 5 blocks.
Existence and characterization
There are at least 12146 non-isomorphic 2- (49,16,5) -block plans. Two of these solutions are:
- Solution 1 ( dual to solution 2) with the signature 30 x 1, 15 x 2, 3 x 15, 1 x 35. It contains 1 oval of the 4th order.
- Solution 2 ( dual to solution 1) with the signature 30 x 1, 15 x 2, 3 x 15, 1 x 60. It contains 1 oval of the 4th order.
List of blocks
All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list
- Solution 1
1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 5 6 7 8 9 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 4 15 16 17 18 19 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1 2 13 14 16 18 21 24 27 28 30 36 41 42 46 48 1 2 10 14 17 19 20 22 28 29 31 37 42 43 47 49 1 2 10 11 15 18 21 23 25 29 32 38 43 44 45 48 1 2 11 12 16 19 22 24 25 26 33 39 40 44 46 49 1 2 12 13 15 17 20 23 26 27 34 35 40 41 45 47 1 3 6 8 18 19 22 23 25 31 34 36 38 41 46 47 1 3 7 9 15 19 23 24 26 30 32 37 39 42 47 48 1 3 5 8 15 16 20 24 27 31 33 35 38 43 48 49 1 3 6 9 16 17 20 21 28 32 34 36 39 44 45 49 1 3 5 7 17 18 21 22 29 30 33 35 37 40 45 46 1 4 8 9 11 13 20 26 29 32 33 36 37 41 43 46 1 4 5 9 12 14 21 25 27 33 34 37 38 42 44 47 1 4 5 6 10 13 22 26 28 30 34 38 39 40 43 48 1 4 6 7 11 14 23 27 29 30 31 35 39 41 44 49 1 4 7 8 10 12 24 25 28 31 32 35 36 40 42 45 2 3 5 7 11 12 15 25 28 30 34 36 37 41 43 49 2 3 6 8 12 13 16 26 29 30 31 37 38 42 44 45 2 3 7 9 13 14 17 25 27 31 32 38 39 40 43 46 2 3 5 8 10 14 18 26 28 32 33 35 39 41 44 47 2 3 6 9 10 11 19 27 29 33 34 35 36 40 42 48 2 4 6 7 10 15 17 20 24 30 33 36 38 44 46 47 2 4 7 8 11 16 18 20 21 31 34 37 39 40 47 48 2 4 8 9 12 17 19 21 22 30 32 35 38 41 48 49 2 4 5 9 13 15 18 22 23 31 33 36 39 42 45 49 2 4 5 6 14 16 19 23 24 32 34 35 37 43 45 46 3 4 5 10 12 16 17 20 23 25 29 39 41 42 46 48 3 4 6 11 13 17 18 21 24 25 26 35 42 43 47 49 3 4 7 12 14 18 19 20 22 26 27 36 43 44 45 48 3 4 8 10 13 15 19 21 23 27 28 37 40 44 46 49 3 4 9 11 14 15 16 22 24 28 29 38 40 41 45 47 5 10 11 17 19 21 24 26 27 31 36 37 38 39 41 45 6 11 12 15 18 20 22 27 28 32 35 37 38 39 42 46 7 12 13 16 19 21 23 28 29 33 35 36 38 39 43 47 8 13 14 15 17 22 24 25 29 34 35 36 37 39 44 48 9 10 14 16 18 20 23 25 26 30 35 36 37 38 40 49 7 9 10 15 16 21 22 26 31 34 35 41 42 43 44 46 5 8 11 16 17 22 23 27 30 32 36 40 42 43 44 47 6 9 12 17 18 23 24 28 31 33 37 40 41 43 44 48 5 7 13 18 19 20 24 29 32 34 38 40 41 42 44 49 6 8 14 15 19 20 21 25 30 33 39 40 41 42 43 45 5 6 12 14 15 21 26 29 31 32 36 40 46 47 48 49 6 7 10 13 16 22 25 27 32 33 37 41 45 47 48 49 7 8 11 14 17 23 26 28 33 34 38 42 45 46 48 49 8 9 10 12 18 24 27 29 30 34 39 43 45 46 47 49 5 9 11 13 19 20 25 28 30 31 35 44 45 46 47 48
- Solution 2
1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 5 6 7 8 9 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 4 15 16 17 18 19 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1 2 12 14 16 17 20 23 28 29 30 35 41 43 45 49 1 2 10 13 17 18 21 24 25 29 31 36 42 44 45 46 1 2 11 14 18 19 20 22 25 26 32 37 40 43 46 47 1 2 10 12 15 19 21 23 26 27 33 38 41 44 47 48 1 2 11 13 15 16 22 24 27 28 34 39 40 42 48 49 1 3 6 7 17 19 23 24 25 30 33 35 39 40 46 48 1 3 7 8 15 18 20 24 26 31 34 35 36 41 47 49 1 3 8 9 16 19 20 21 27 30 32 36 37 42 45 48 1 3 5 9 15 17 21 22 28 31 33 37 38 43 46 49 1 3 5 6 16 18 22 23 29 32 34 38 39 44 45 47 1 4 7 9 11 12 20 25 28 33 34 36 38 40 44 45 1 4 5 8 12 13 21 26 29 30 34 37 39 40 41 46 1 4 6 9 13 14 22 25 27 30 31 35 38 41 42 47 1 4 5 7 10 14 23 26 28 31 32 36 39 42 43 48 1 4 6 8 10 11 24 27 29 32 33 35 37 43 44 49 2 3 6 9 12 13 15 25 26 30 32 36 39 43 44 49 2 3 5 7 13 14 16 26 27 31 33 35 37 40 44 45 2 3 6 8 10 14 17 27 28 32 34 36 38 40 41 46 2 3 7 9 10 11 18 28 29 30 33 37 39 41 42 47 2 3 5 8 11 12 19 25 29 31 34 35 38 42 43 48 2 4 7 8 10 16 19 20 22 30 31 38 39 44 46 49 2 4 8 9 11 15 17 21 23 31 32 35 39 40 45 47 2 4 5 9 12 16 18 22 24 32 33 35 36 41 46 48 2 4 5 6 13 17 19 20 23 33 34 36 37 42 47 49 2 4 6 7 14 15 18 21 24 30 34 37 38 43 45 48 3 4 5 11 14 17 18 20 21 25 27 39 41 44 48 49 3 4 6 10 12 18 19 21 22 26 28 35 40 42 45 49 3 4 7 11 13 15 19 22 23 27 29 36 41 43 45 46 3 4 8 12 14 15 16 23 24 25 28 37 42 44 46 47 3 4 9 10 13 16 17 20 24 26 29 38 40 43 47 48 9 12 14 18 19 23 24 27 29 31 36 37 38 39 40 49 5 10 13 15 19 20 24 25 28 32 35 37 38 39 41 45 6 11 14 15 16 20 21 26 29 33 35 36 38 39 42 46 7 10 12 16 17 21 22 25 27 34 35 36 37 39 43 47 8 11 13 17 18 22 23 26 28 30 35 36 37 38 44 48 8 9 14 17 19 22 24 26 33 34 39 41 42 43 44 45 5 9 10 15 18 20 23 27 30 34 35 40 42 43 44 46 5 6 11 16 19 21 24 28 30 31 36 40 41 43 44 47 6 7 12 15 17 20 22 29 31 32 37 40 41 42 44 48 7 8 13 16 18 21 23 25 32 33 38 40 41 42 43 49 7 9 13 14 19 21 28 29 32 34 35 44 46 47 48 49 5 8 10 14 15 22 25 29 30 33 36 40 45 47 48 49 6 9 10 11 16 23 25 26 31 34 37 41 45 46 48 49 5 7 11 12 17 24 26 27 30 32 38 42 45 46 47 49 6 8 12 13 18 20 27 28 31 33 39 43 45 46 47 48
Incidence matrix
This is a representation of the incidence matrix of this block diagram; see this illustration to understand this matrix
- Solution 1
O . . . O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . . O O . O . O . . O . . O . . O O . O . . . . . O . . . . O O . . . O . O . O O . . . . . . . O . . . O . . O . O O . O . . . . . O O . O . . . . . O . . . . O O . . . O . O O O . . . . . . . O O . . . O . . O . . O . O . O . . . O . . O . . . . . O . . . . O O O . . O . O O . . . . . . . . O O . . . O . . O . . O . O O O . . . . . . O . . . . . O O . . . O . O . . O O O . . . . . . . . . O O . O . O . . O . . O . . O O . . . . . . O O . . . . O O . . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . . . . . O O . . O O . O . . . . . O . . O . O . O . . O . . . . O O . . O . O . . . O . O . . . . . O . . . O . . . O O . O . . . O . O . . . . O . O . . O . . . . O O . O . O . O . . O . . . . . . O O . . . O . . . O . . O . . . O . O . O . . O . . . . O . . . . O O O . O . . O . . O . . . . . . O O . . O O . . . . . . O . . . O . O . O . . O . . . . O O . . . O O . O . O . O . . . . . . . . . O O . . O O . . . . . . O O . . O . O . O . . O . . . . O O . . . O . . O . . . O O . O . O . . . . . . O . . . . . O . . O . . O O . . O O . . . O . O . . O . . . O . . O O . . . O . . O . O . . . . . . O . . . O . O . . . . . O O . . O O . . . O . O . . O . . O . . O O O . . . O . . O . . . . . . . . O . . . O . O . O . . . O . . . O O O . . O . . . . O . O . . O . O O . . . O . . O . . . . . . . . O . . . O . O O O . . . O . . . O . O . . O . . . . O O . . O . . O O . O . O . . . . . . . . . . . O O . . O . . O O . . O O . . . O . O . . O . . . . . O O . O . O . . . O O . . O . . . . . . . . . O . . O . O . . . O . O O . . . O . O . . . . . O . O O . . O . O . . . O O . . O . . . . . . . . . O . . O O O . . . . . O O . . . O . O O . . . . . O O . . . O . O . . . O O . . O . . . . . . . O . O . . . O O . . . . . O O O . . O . . O . . . . O O . O . . O . O . . . O . . . O . . . . . . . O . O . . . O O . O . . . O . O . . O . . O . . . O O . . O . . O O O . . . . . . . O . . . . . . . O . O . . . O O O O . . . O . O . . . . . O . . O . O . O O . . O . . . . O . O . . O . . . O . . . . . O . . O . . O . O . . . . . O . O O . . . O . O . . O O . . O . . . . O . O . O O . . . . . . . . . O . . O . . O . O O . . . . . . O O . . O . O . . . O O . . O . . . . O . O . O O . . . . . . . O . O . . O . . O . . O . . . . . . O O . O . O O . . . O . . . O . O . . O . . . O O . . . . . . . O . O . . O . . O . . O . . O . . . O . O . O O O . . . . . . . O . O . . O . . . O O . . . . . . . O . O O . O . . . . . O . O O . . . . . O O O . . . . O . O . . . O O . . O . . O . O . . . O . . . . . . . . . O . O O . . . O . O . . . O O . O . . . . O . O . . . O O . . O . . O O O . . . . . . . . O . . . . . . O O . . . O . O . . O O . . O . . . . O . O . . . O O O . O . . . O O . . . . . . . . O . . . . . . O O O . . O . . . O O . . . O . O . . O . O . . . O . O . O . . . O O . . . . . . . . O . . O . . . O . O . . O . . O O . . . . O . O . . O O O . . . . . O . O . . . O O . . . . . . . . O . O O . . . O . O . . . . . . O . . . . O O . . . . . O . O . O . . O . O O . . . O . . . . O O O O . O . . . O . . . . . . . . . O . . . . O O . . O . . O . O . O . . . . O O . . . O . . O . O O O . . O . . . O . . . . . . . . . O . . . . O O . . O . . O . O . O . . . . O O . . . O . O O . O O . . . O . . . O . . . . . . . . . O . . . . O O O . O . . . . O . O O . . . O . . . . O O O O . O . . . . O . . . O . . . . . . . . . O O . . . O . O . O . O . . O . O O . . . O . . . . O O O O . O . . . . . . . . O . . . . . . O . O O . . . . O O . . . . O O . . . O . . . . O . . O O . . . . . O O O O . O . . . . . . . O . . O . . O . . . . O O . . . . O O . . . O . . O . O . . . O . . . O . O O O . . O . . . . . . . O . . O . . O . . . . O O . . . . O O . . . O . . O . O . . . O . . O O . O O . . . O . . . . . O . O . . . . . O . . . . O O O . . . O . . . . O . . O . O . . . O . O O O . O . . . . O . . . . . O . O . . . . . O O . . . O O O . . . O . . . . O . . O . . . . . O O O O O . O . . . . . . . . O O . . . . . O . O O . . . . . O . . . . O . . O . O O . . . O . . . O . . . . . O O O O . . . . . O O . . O . . O . . O . . . . . O . . O . O . . . . O O . . . O . . . O . . . O . O O O . . . . . . O O . . O . . O . . O . . . . . O . . O . O . . . . O O . . . O . . . O . . O O . O O . . . . . . . O O O . O . . . . . O . . . . . O . . O . O O . . . O . . . . O . . . O . O O O . O . . . . O . . . O . O . O . . . . . O O . . . . O . . O . O O . . . O . . . . . . . . O O O O O .
- Solution 2
O . . . O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O . O . O O . . O . . O . . . . O O O . . . . O . . . . . O . O . O . . . O O O . . . . . . . O . . O . . . O O . . O . . O O . . . O . O . . . . O . . . . . O . O O O . . . O O . . . . . . . . O . . O . . . O O O . O . . O O . . . . . O . . . . O . . O . . O . . O O . . O O . . . . . . . O . O . . O . . . O . O . O . . O O . . . . . O . . . . O . . O . . O . . O O . O O . . . . . . . . O . O . O O . . . . . O . O . . O O . . . . . O . . . . O O . O . . . . . O O O . O . . O O . . . . . . . . . O . O . . . O O O . . . . O . . O . O . . . O O . . . . . O . O . O . O . . . O O . . . . . . O . . O . O . . . O . O . . . . O . . O O O . . . . O . . . . . O . O O . O . . . . O O . . . . . . O . . O O O . . . . . O . . O . O . . . O O . . . . O . . O . . O . O . O . O . . . O . . . . . O . O . . . O O . . . . . O . . O . O . . . O O . . . . O . . O . . O O . O . O O . . . . . . . . . O . O . . . O O . . . . . O . . O . O . . . O O . . . . O O . O . . O . . O . . O . O . O O . . . . . . . O . . . . O . . O . . . . O O . O . O . O . . . O O . . . . O . . O O . . O . . . O O . . . . . . . O . . . . O . . O O . . . O . . O . O O O . . . . O . . . O . . O . O . . O . . . O O . . . . . . . O . . O . O . . O O . . . O . . O . . O O . . . . O . . O . . O O . O . . O . . . O . . . . . . . . O . . O . O . . O O . . . O . . O . . O O . . . . O . O . . O . O . O . O O . . . . . . . . . . . . O . . O . O . . O O . O . O . . . . . O O . . . . O . O O . . O . . O . . O O . O . . . . . . . . . O O . . . O . O . . . O . . O . . . O O . . . . O . O O . O . O . . . . . O O . O . . . . . . . . . O O . . . O . O . O . O . . O . . . O O . . . . . O O . . O . O . O . . . O . . O . . . . . . . . . O O . . . O . O . O . O . O O . . . . O . . . . O O . . . O . O O O . . . . . . O . . . . . . . . . O O O . . O . . . O . O . O O . . . . O . . . O O . O . . O . . O O . . . . . . O . . . . . O . . . O . O . . O O . . O . . . O O . . . . O . . O . O . . O O . O . . . . . O . . O O . O . . . . . . . O O . . . . . . O O . . . . O . O . . O . O . O . . . O O . O . . . O . O . . . O . O . . . . . . . O O . . O . . . O O . . . . O . O . . . O . O O . . . O . . O . . . O . O . . . O . O . . . . . . . O O . O O . . . . O . . . . O . O . . O . O O O . . . . . . O . . . O . O O . . O . . . . . . . . . O O . O O . . . . O . . . . O . O . O . O . O O . . . . . . O O . . O . . O . . O . . . . . O . . . O . . O O . . . . O . O . . O . . . O O O . . . . . O . . O . . O O . O O . . . O . O . . . . . . . . . . . O . O . . O . . . O O . . O O . O . . . O . O . . . . . O O . O O . . . O . O . . . . . . O . . . . O . O . . O . . . O . . O O . . O . . . O . O . O . . . O . . O O . . . O . O . . . . . . O . . . . O . O . O O . . . . . O O . . . O . . . O . O O O . . . . . . O O O . . O . . . . . . . . O . . . . O . O . O O . . . . O O . . . . O O . . O . . O O . . O . . . O . O . . O . . . . . . . . O . O . . O . . . O O . . . . . . . . . O . . O . O . . . O O . . . O O . . O . O . O . . . . O O O O O . . . . . . . . O . . . . O . . . . O . . O . O . . . O O . . . O O . . O . . . O . . O . O O O . O . . . O . . . . . . . . . O . . . . O . . O O O . . . O O . . . . O . . O . . . O . O O . O O . . O . . . O . . . . . . . . . O . . O . O . . . O O . . . O O . . O . O . . . . . . O O O O . O . . . O . . . O . . . . . . . . . O . . O . O . . . O O . . . O O . . O . O . O . . . . O O O O . . . . . O . . . O . . . . . . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . O . . . . . . O O . . . . O . O O O O O . . . . . . . . O . . . O O . . . . O . . O . O . . O . . . O . . O . . . O O . . . . O . O O O . O . . . . . . . O O . . . . O . . . . O . . O . O . . O . . . O . O O . . . . O . . . O O . O O . . O . . . . . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . . . . . . O . O O . . . . O . . O O O . O . . . O . . . . . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . O . . . . . . O O . . . . O . O O O O . . . . . O . . . . . . O . O . . . O O . . . . O . O . . . . . . O O . . O . O O . . . . . . . . O . O O O O . . . . O . . O . O . . . O O . . . . . . O . . O . . . O O . . O . . O . . . O . . . . O . O O O . . . . . O . . O O O . . . . O . . . . . . O . O O . . . . O . . O . . O . . . O . . . O O . O O . . . . O . O . . . O O . . . . O . . . . . . O . O O . . O . O . . . . . O . . . O . . O O O . O . . . . . O . O . . . O O . . . . O . O . . . . . . O O . . O . O . . . . . O . . . O . O O O O .
oval
An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here are all the ovals of maximum order on this block diagram:
- Solution 1 (all ovals)
1 2 3 4
- Solution 2 (all ovals)
1 2 3 4
literature
- Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
- Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .
Individual evidence
- ^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.