„Spezielle Funktion“ – Versionsunterschied
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Das Gebiet der '''speziellen Funktionen''' beschäftigt sich mit gewissen [[Funktion|Funktionen]], die in der Anwendung (z.B. [[mathematische Physik]]) häufig auftreten. Die meisten Funktionen von Interesse sind dabei [[holomorph]] oder [[meromorph]] und lassen sich in [[Reihenentwicklung|Reihen entwickeln]]. Eine Motivation, solche Funktionen als ''speziell'' auszuzeichnen, ist, dass diese Funktionen in vielfältiger Weise in Beziehung zueinander stehen. Das entsprechende Forschungsgebiet versucht diese Beziehungen zu katalogisieren beziehungsweise neue zu finden. |
Das Gebiet der '''speziellen Funktionen''' beschäftigt sich mit gewissen [[Funktion|Funktionen]], die in der Anwendung (z.B. [[mathematische Physik]]) häufig auftreten. Die meisten Funktionen von Interesse sind dabei [[holomorph]] oder [[meromorph]] und lassen sich in [[Reihenentwicklung|Reihen entwickeln]]. Eine Motivation, solche Funktionen als ''speziell'' auszuzeichnen, ist, dass diese Funktionen in vielfältiger Weise in Beziehung zueinander stehen. Das entsprechende Forschungsgebiet versucht diese Beziehungen zu katalogisieren beziehungsweise neue zu finden. |
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Ein klassisches Buch auf diesem Gebiet (zugleich angeblich das meistzitierte mathematische Werk) ist |
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das "Handbook of Mathematical Functions" von Abrahmovitz und Stegun. |
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Liste einiger speziellen Funktionen (unvollständig): |
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* [[Hypergeometrische Funktion]]en |
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** spezielle Funktionen die sich aus der hypergeometrischen Funktion für spezielle Parameter ergeben |
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*** [[Laguerre-Polynome]] |
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*** [[Bessel-Funktion]]en |
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* Funktionen die als verallgemeinerte Logarithmen verwendet werden |
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** [[Polylogarithmus|Polylogarithmen]] |
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** [[Nielsen-Funktion]] |
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** [[Clausen-Funktion]]en |
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* weitere spezielle Funktionen |
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** [[Elliptische Integral-Funktion]]en |
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In der mehrdimensionalen Analysis sind auch spezielle Funktionen in mehreren (idR komplexen) Variablen gebräuchlich. |
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* spezielle Funktionen in mehreren Parametern |
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** Verallgmeinerte hypergeometrische Funktionen |
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*** [[Appelsche Funktion|Appellsche Funktionen]] |
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Spezielle Funktionen der theoreischen Physik: |
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* Clebsch-Gordan-Symbole |
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* Wigner-nj-Symbole |
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In jüngerer Zeit werden auch die Eigenschaften von speziellen Funktionen mit Hilfe von Computeralgebra und "symbolic computation" untersucht. |
In jüngerer Zeit werden auch die Eigenschaften von speziellen Funktionen mit Hilfe von Computeralgebra und "symbolic computation" untersucht. |
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== Literatur == |
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* I.A. Stegun & Abramowitz, M. : Handbook of Mathematical Functions , Dover Press |
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Version vom 4. Juli 2005, 21:11 Uhr
Das Gebiet der speziellen Funktionen beschäftigt sich mit gewissen Funktionen, die in der Anwendung (z.B. mathematische Physik) häufig auftreten. Die meisten Funktionen von Interesse sind dabei holomorph oder meromorph und lassen sich in Reihen entwickeln. Eine Motivation, solche Funktionen als speziell auszuzeichnen, ist, dass diese Funktionen in vielfältiger Weise in Beziehung zueinander stehen. Das entsprechende Forschungsgebiet versucht diese Beziehungen zu katalogisieren beziehungsweise neue zu finden.
Beispiele
Liste einiger speziellen Funktionen (unvollständig):
- Folgende spezielle Funktionen sind Verallgemeinerungen der Fakultät bzw. der Gamma-Funktion
- Hypergeometrische Funktionen
- spezielle Funktionen die sich aus der hypergeometrischen Funktion für spezielle Parameter ergeben
- Funktionen die als verallgemeinerte Logarithmen verwendet werden
- weitere spezielle Funktionen
In der mehrdimensionalen Analysis sind auch spezielle Funktionen in mehreren (idR komplexen) Variablen gebräuchlich.
- spezielle Funktionen in mehreren Parametern
- Verallgmeinerte hypergeometrische Funktionen
Spezielle Funktionen der theoreischen Physik:
- Clebsch-Gordan-Symbole
- Wigner-nj-Symbole
Anwendungsgebiete
Viele dieser Funktionen sind Lösungen von Differentialgleichungen (oder treten in der Integrationsrechnung auf). Erst durch die Möglichkeit Lösungen solcher Differentialgeleichungen durch spezielle Spezielle Funktionen sind auch das Rückgrat von vielen Berechnungen mit Computeralgebrasystemen (Mathematica, Maple,..).
In jüngerer Zeit werden auch die Eigenschaften von speziellen Funktionen mit Hilfe von Computeralgebra und "symbolic computation" untersucht.
Literatur
- I.A. Stegun & Abramowitz, M. : Handbook of Mathematical Functions , Dover Press