(39,19,9) block plan
The (39,19,9) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 39 × 39 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 19 ones and any two rows have exactly 9 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 39, k = 19, λ = 9) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .
designation
This symmetrical 2- (39,19,9) block diagram is called the Hadamard block diagram of the 10th order.
properties
This symmetrical block diagram has the parameters v = 39, k = 19, λ = 9 and thus the following properties:
- It consists of 39 blocks and 39 points.
- Each block contains exactly 19 points.
- Every 2 blocks intersect in exactly 9 points.
- Each point lies on exactly 19 blocks.
- Each 2 points are connected by exactly 9 blocks.
Existence and characterization
There are at least 5.87 · 10 14 non-isomorphic 2- (39,19,9) -block plans. Three of these solutions are:
- Solution 1 with the signature 19 · 18, 19 · 30, 1 · 684. It contains 741 ovals of the 2nd order.
- Solution 2 with the signature 4 x 6, 12 x 10, 12 x 14, 4 x 18, 3 x 24, 3 x 40, 1 x 84. It contains 741 ovals of the 2nd order.
- Solution 3 with the signature 4 x 8, 9 x 12, 8 x 16, 9 x 20, 4 x 24, 1 x 36, 1 x 40, 1 x 44, 1 x 68, 1 x 72. It contains 741 ovals of the 2nd order.
List of blocks
All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list
- Solution 1
2 5 6 7 8 10 12 17 18 20 22 25 26 27 28 30 32 37 38 3 6 7 8 9 11 13 18 19 20 23 26 27 28 29 31 33 38 39 1 4 7 8 9 10 12 14 19 20 21 24 27 28 29 30 32 34 39 1 2 5 8 9 10 11 13 15 20 21 22 25 28 29 30 31 33 35 2 3 6 9 10 11 12 14 16 20 22 23 26 29 30 31 32 34 36 3 4 7 10 11 12 13 15 17 20 23 24 27 30 31 32 33 35 37 4 5 8 11 12 13 14 16 18 20 24 25 28 31 32 33 34 36 38 5 6 9 12 13 14 15 17 19 20 25 26 29 32 33 34 35 37 39 1 6 7 10 13 14 15 16 18 20 21 26 27 30 33 34 35 36 38 2 7 8 11 14 15 16 17 19 20 22 27 28 31 34 35 36 37 39 1 3 8 9 12 15 16 17 18 20 21 23 28 29 32 35 36 37 38 2 4 9 10 13 16 17 18 19 20 22 24 29 30 33 36 37 38 39 1 3 5 10 11 14 17 18 19 20 21 23 25 30 31 34 37 38 39 1 2 4 6 11 12 15 18 19 20 21 22 24 26 31 32 35 38 39 1 2 3 5 7 12 13 16 19 20 21 22 23 25 27 32 33 36 39 1 2 3 4 6 8 13 14 17 20 21 22 23 24 26 28 33 34 37 2 3 4 5 7 9 14 15 18 20 22 23 24 25 27 29 34 35 38 3 4 5 6 8 10 15 16 19 20 23 24 25 26 28 30 35 36 39 1 4 5 6 7 9 11 16 17 20 21 24 25 26 27 29 31 36 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 5 6 7 8 10 12 17 18 21 23 24 29 31 33 34 35 36 39 3 6 7 8 9 11 13 18 19 21 22 24 25 30 32 34 35 36 37 1 4 7 8 9 10 12 14 19 22 23 25 26 31 33 35 36 37 38 1 2 5 8 9 10 11 13 15 23 24 26 27 32 34 36 37 38 39 2 3 6 9 10 11 12 14 16 21 24 25 27 28 33 35 37 38 39 3 4 7 10 11 12 13 15 17 21 22 25 26 28 29 34 36 38 39 4 5 8 11 12 13 14 16 18 21 22 23 26 27 29 30 35 37 39 5 6 9 12 13 14 15 17 19 21 22 23 24 27 28 30 31 36 38 1 6 7 10 13 14 15 16 18 22 23 24 25 28 29 31 32 37 39 2 7 8 11 14 15 16 17 19 21 23 24 25 26 29 30 32 33 38 1 3 8 9 12 15 16 17 18 22 24 25 26 27 30 31 33 34 39 2 4 9 10 13 16 17 18 19 21 23 25 26 27 28 31 32 34 35 1 3 5 10 11 14 17 18 19 22 24 26 27 28 29 32 33 35 36 1 2 4 6 11 12 15 18 19 23 25 27 28 29 30 33 34 36 37 1 2 3 5 7 12 13 16 19 24 26 28 29 30 31 34 35 37 38 1 2 3 4 6 8 13 14 17 25 27 29 30 31 32 35 36 38 39 2 3 4 5 7 9 14 15 18 21 26 28 30 31 32 33 36 37 39 3 4 5 6 8 10 15 16 19 21 22 27 29 31 32 33 34 37 38 1 4 5 6 7 9 11 16 17 22 23 28 30 32 33 34 35 38 39
- Solution 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33 34 1 2 3 5 10 15 16 17 18 20 21 22 23 25 30 35 36 37 38 1 2 6 7 11 12 15 16 19 20 21 22 26 27 31 32 35 36 39 1 3 6 7 13 14 17 18 19 20 21 23 26 27 33 34 37 38 39 1 4 5 8 11 13 15 17 19 20 21 24 25 28 31 33 35 37 39 1 4 5 9 12 14 16 18 19 20 21 24 25 29 32 34 36 38 39 1 6 8 9 10 11 14 16 17 20 21 26 28 29 30 31 34 36 37 1 7 8 9 10 12 13 15 18 20 21 27 28 29 30 32 33 35 38 2 3 8 9 11 14 15 18 19 20 22 23 28 29 31 34 35 38 39 2 4 6 8 10 12 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 37 38 39 2 4 7 9 11 13 16 17 18 20 22 24 27 29 31 33 36 37 38 2 5 6 9 12 13 14 15 17 20 22 25 26 29 32 33 34 35 37 2 5 7 8 10 13 14 16 19 20 22 25 27 28 30 33 34 36 39 3 4 6 9 10 13 15 16 19 20 23 24 26 29 30 33 35 36 39 3 4 7 8 12 14 15 16 17 20 23 24 27 28 32 34 35 36 37 3 5 6 8 11 12 13 16 18 20 23 25 26 28 31 32 33 36 38 3 5 7 9 10 11 12 17 19 20 23 25 27 29 30 31 32 37 39 4 5 6 7 10 11 14 15 18 20 24 25 26 27 30 31 34 35 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 1 2 3 4 10 11 12 13 14 25 26 27 28 29 35 36 37 38 39 1 2 3 5 10 15 16 17 18 24 26 27 28 29 31 32 33 34 39 1 2 6 7 11 12 15 16 19 23 24 25 28 29 30 33 34 37 38 1 3 6 7 13 14 17 18 19 22 24 25 28 29 30 31 32 35 36 1 4 5 8 11 13 15 17 19 22 23 26 27 29 30 32 34 36 38 1 4 5 9 12 14 16 18 19 22 23 26 27 28 30 31 33 35 37 1 6 8 9 10 11 14 16 17 22 23 24 25 27 32 33 35 38 39 1 7 8 9 10 12 13 15 18 22 23 24 25 26 31 34 36 37 39 2 3 8 9 11 14 15 18 19 21 24 25 26 27 30 32 33 36 37 2 4 6 8 10 12 17 18 19 21 23 25 27 29 31 33 34 35 36 2 4 7 9 11 13 16 17 18 21 23 25 26 28 30 32 34 35 39 2 5 6 9 12 13 14 15 17 21 23 24 27 28 30 31 36 38 39 2 5 7 8 10 13 14 16 19 21 23 24 26 29 31 32 35 37 38 3 4 6 9 10 13 15 16 19 21 22 25 27 28 31 32 34 37 38 3 4 7 8 12 14 15 16 17 21 22 25 26 29 30 31 33 38 39 3 5 6 8 11 12 13 16 18 21 22 24 27 29 30 34 35 37 39 3 5 7 9 10 11 12 17 19 21 22 24 26 28 33 34 35 36 38 4 5 6 7 10 11 14 15 18 21 22 23 28 29 32 33 36 37 39
- Solution 3
1 5 6 12 14 15 16 17 19 20 21 25 26 32 34 35 36 37 39 2 5 7 10 12 13 14 18 19 20 22 25 27 30 32 33 34 38 39 3 5 8 10 11 12 13 16 17 20 23 25 28 30 31 32 33 36 37 4 5 9 11 13 15 16 18 19 20 24 25 29 31 33 35 36 38 39 1 2 3 4 10 16 17 18 19 20 21 22 23 24 30 36 37 38 39 1 7 8 9 10 13 15 17 19 20 21 27 28 29 30 33 35 37 39 2 6 8 9 11 12 17 18 19 20 22 26 28 29 31 32 37 38 39 3 6 7 9 13 14 16 17 18 20 23 26 27 29 33 34 36 37 38 4 6 7 8 10 12 15 16 18 20 24 26 27 28 30 32 35 36 38 2 3 7 8 11 14 15 16 19 20 22 23 27 28 31 34 35 36 39 3 4 5 6 8 9 10 14 19 20 23 24 25 26 28 29 30 34 39 1 2 3 5 6 8 13 15 18 20 21 22 23 25 26 28 33 35 38 2 3 4 5 7 9 12 15 17 20 22 23 24 25 27 29 32 35 37 1 2 5 6 7 9 10 11 16 20 21 22 25 26 27 29 30 31 36 1 4 5 7 8 11 14 17 18 20 21 24 25 27 28 31 34 37 38 1 3 4 6 7 11 12 13 19 20 21 23 24 26 27 31 32 33 39 1 3 9 10 11 12 14 15 18 20 21 23 29 30 31 32 34 35 38 2 4 6 10 11 13 14 15 17 20 22 24 26 30 31 33 34 35 37 1 2 4 8 9 12 13 14 16 20 21 22 24 28 29 32 33 34 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 5 6 12 14 15 16 17 19 22 23 24 27 28 29 30 31 33 38 2 5 7 10 12 13 14 18 19 21 23 24 26 28 29 31 35 36 37 3 5 8 10 11 12 13 16 17 21 22 24 26 27 29 34 35 38 39 4 5 9 11 13 15 16 18 19 21 22 23 26 27 28 30 32 34 37 1 2 3 4 10 16 17 18 19 25 26 27 28 29 31 32 33 34 35 1 7 8 9 10 13 15 17 19 22 23 24 25 26 31 32 34 36 38 2 6 8 9 11 12 17 18 19 21 23 24 25 27 30 33 34 35 36 3 6 7 9 13 14 16 17 18 21 22 24 25 28 30 31 32 35 39 4 6 7 8 10 12 15 16 18 21 22 23 25 29 31 33 34 37 39 2 3 7 8 11 14 15 16 19 21 24 25 26 29 30 32 33 37 38 3 4 5 6 8 9 10 14 19 21 22 27 31 32 33 35 36 37 38 1 2 3 5 6 8 13 15 18 24 27 29 30 31 32 34 36 37 39 2 3 4 5 7 9 12 15 17 21 26 28 30 31 33 34 36 38 39 1 2 5 6 7 9 10 11 16 23 24 28 32 33 34 35 37 38 39 1 4 5 7 8 11 14 17 18 22 23 26 29 30 32 33 35 36 39 1 3 4 6 7 11 12 13 19 22 25 28 29 30 34 35 36 37 38 1 3 9 10 11 12 14 15 18 22 24 25 26 27 28 33 36 37 39 2 4 6 10 11 13 14 15 17 21 23 25 27 28 29 32 36 38 39 1 2 4 8 9 12 13 14 16 23 25 26 27 30 31 35 37 38 39
Incidence matrix
This is a representation of the incidence matrix of this block diagram; see this illustration to understand this matrix
- Solution 1
. O . . O O O O . O . O . . . . O O . O . O . . O O O O . O . O . . . . O O . . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . . O O . . O . . O O O O . O . O . . . O . O O . . O . . O O O O . O . O . . . . . O O . . O . . O O O O . O . O . . O . . O O . . O . . O O O O . O . O . . . . . O O . . O . . O O O O . O . O . O . . . O O . . O . . O O O O . O . O . . . . . O O . . O . . O O O O . O . O O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O O . . . . O O . . O . . O O O O . O . . O . . . . O O . . O . . O O O O . O O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O O . O . . . . O O . . O . . O O O O . . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . . O O O O . O . O . . . . O O . . O . O . O O O O . O . O . . . . O O . . O . . . O O O O . O . O . . . . O O . . O O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O O O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O . O O . . . . O . O . O O O O . . O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O . O O . O O . . . . O . O . O O O O . . O . . O . . O O O O . O . O . . . . O . . O O . O O . . . . O . O . O O O O . O O . . O . . O O O O . O . O . . . . . . . O O . O O . . . . O . O . O O O O . O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O . . O O . O O . . . . O . O . O O O . . O O . . O . . O O O O . O . O . . . O O . . O O . O O . . . . O . O . O O . . . O O . . O . . O O O O . O . O . . O O O . . O O . O O . . . . O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O . O O O O . . O O . O O . . . . O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O . . . O O O O . . O O . O O . . . . O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O . O O O O . . O O . O O . . . . O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O . . . O . O O O O . . O O . O O . . . . O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O . O O O O . . O O . O O . . . . O . O . O . . . . O O . . O . . O O O . . O . O . O O O O . . O O . O O . . . O O . O . O . . . . O O . . O . . O O . . . O . O . O O O O . . O O . O O . . O O O . O . O . . . . O O . . O . . O . . . . O . O . O O O O . . O O . O O . O O O O . O . O . . . . O O . . O . . . . . . . O . O . O O O O . . O O . O O . O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O . . . . O . O . O O O O . . O O . O . . O O O O . O . O . . . . O O . . O . O O . . . . O . O . O O O O . . O O . O . . O O O O . O . O . . . . O O . . . . O O . . . . O . O . O O O O . . O O
- Solution 2
O O O O O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O . O . . . . O . . . . O O O O . O O O O . O . . . . O . . . . O O O O . O O . . . O O . . . O O . . O O . . O O O O . . . O O . . . O O . . O O . . O O . O . . O O . . . . . O O . . O O O O O . O . . O O . . . . . O O . . O O O O . . O O . . O . . O . O . O . O . O O O . . O O . . O . . O . O . O . O . O O . . O O . . . O . . O . O . O . O O O O . . O O . . . O . . O . O . O . O O O . . . . O . O O O O . . O . O O . . O O . . . . O . O O O O . . O . O O . . O . . . . . O O O O . O O . O . . O . O O . . . . . O O O O . O O . O . . O . . O O . . . . O O . O . . O O . . O O O . O O . . . . O O . O . . O O . . O O . O . O . O . O . O . O . . . . O O O O . O . O . O . O . O . O . . . . O O O . O . O . . O . O . O . O . . O O O . O . O . O . . O . O . O . O . . O O O . . O . . O O . . O . . O O O O . O . . O . O . . O O . . O . . O O O O . O . . . O . . O . O O . O . . O O . O . . O O . O . . O . O O . O . . O O . O . . O . . O O . O . . O O . . O . O O . . O O . . O O . O . . O O . . O . O O . . O . . O O . . O O . . . O . O O O O . . O . . O O . . O O . . . O . O O O O . . . . O . O O . O . . O O O . . O . O . O . . O . O O . O . . O O O . . O . O . . . O . O . O . O O O O . . . . O . O O . . O . O . O . O O O O . . . . O . O . . . O O O O . . O O . . O O . . O . O . . . O O O O . . O O . . O O . . O . O O O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O O O O . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . O . O O O O . O O O O . . . . O O O . . . O O . . . O O . . O O . . O . . . O O O . . O O O . . O O . . O O . O . O . . O O . . . . . O O . . O O O . . O . O O . . O O O O O . . O O . . . O . . O O . . O . . O . O . O . O . O . . O O . . O O . O O . O . O . O . O . O . . O O . . . O . . O . O . O . O O . . O O . . O O O . O O . O . O . O . . O . . . . O . O O O O . . O . O O . . . . O O O O . O . . . . O O . O . . O O O . . . . . O O O O . O O . O . . O . . . O O O O O . . . . O . . O . O O . O . O O . . . . O O . O . . O O . . O O . O . . O O O O . . O . O O . . O O . . . O . O . O . O . O . O . . . . O O O . O . O . O . O . O . O . O O O O . . . . O . O . . O . O . O . O . . O O O . . O . O . O O . O . O . O . O O . . . O . O . . O O . . O . . O O O O . O . . . O . O O . . O O . O O . . . . O . O O . O . . O . O O . O . . O O . O . . O . O . O O . O . . O . O O . . O . O O . . . O O . O . . O O . . O . O O . . O . O O . . O . O O . . O O . O . . O O . . . O O . . O O . . . O . O O O O . . . O O . . O O . . O O O . O . . . . O O . . O . O O . O . . O O O . . O . O . . O O . O . . O . O O . . . O O . O . O . . O . O . O . O O O O . . . . O . O . O O . O . O . O . . . . O O O O . O . . . . O O O O . . O O . . O O . . O . . O O O . . . . O O . . O O . . O O . O
- Solution 3
O . . . O O . . . . . O . O O O O . O O O . . . O O . . . . . O . O O O O . O . O . . O . O . . O . O O O . . . O O O . O . . O . O . . O . O O O . . . O O . . O . O . . O . O O O O . . O O . . O . . O . O . . O . O O O O . . O O . . . . . O O . . . O . O . O . O O . O O O . . . O O . . . O . O . O . O O . O O O O O O . . . . . O . . . . . O O O O O O O O O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O . . O . O . O . O O O . . . . . O O O O . . O . O . O . O . O . . . O . O O . O O . . . . O O O O . O . . . O . O O . O O . . . . O O O . . O . . O O . O . . . O O . O O O . O . . O . . O O . O . . . O O . O O O . . . . O . O O O . O . O . . O O . O . O . . . O . O O O . O . O . . O O . O . . O O . . . O O . . O . . O O O . . O O . O O . . . O O . . O . . O O O . . O . . O O O O . O O O . . . O . . . . O O . . O O O O . O O O . . . O . . . . O O O O . O O . O . . . . O . O . . O . O O O O . O O . O . . . . O . O . . O . . O O O O . O . O . . O . . O . O . . O . O O O O . O . O . . O . . O . O . . O O . . O O O . O O O . . . . O . . . O O O . . O O O . O O O . . . . O . . . O . . O O . O O . . O . . O . . O O . O O . . O O . O O . . O . . O . . O O . O . O O . O O . . . O O O . . . . . O O O . O O . O O . . . O O O . . . . . O O . O . . . . . O O O O . O O . . O . O O . O . . . . . O O O O . O O . . O . . O . O . O . . . O O . O O O . O . . O . O . O . O . . . O O . O O O . O . . O O . O . . . O O . . O O O . O . . . O O O . O . . . O O . . O O O . O . . . O O O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O O . . . . . O . O O O O . O . . O O O . . O O O O O . O . . . . O . . O . . O . O . . O . O O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . . . O O O . . . . O . O . . O . O O O O . . O O . . . O O . O . O O . O . . . . O O . . O O . . . O O . . . O . O . O . O O . O O . O O O . . O O O . O . O . O . . O . . O O O O . . . . . O . . . . . O O O O . . . . . O O O O O . O O O O O . . . . O . . . . . O O O O . . O . O . O . O . . O O O O O . . . . O O . O . O . O . . O . . . O . O O . O O . . . . O O O . O . O O O . O . . O . . O O O O . . . . . O . . O O . O . . . O O . O O O . . O O . O O . . O . O O O . . O . . . O . . . O . O O O . O . O . . O O . O . . O O O . O . . . O . O . O O . . O . O . O O . . . O O . . O . . O O O . . O . O . . O O O . . O O . O O . . . O O . . . O O O O . O O O . . . O . . . . O . O O . . . . O . . . O O O . O O O O . O O O . O O . O . . . . O . O . . O . . . . . O . . O . O O O O . O . O O . O . O O O O . O . O . . O . . O . O . . . O . . . . O . O . O O . O O . O . O O O O . . O O O . O O O . . . . O . . . . . . O O . . . O . . . O O O O . O O O O . . O O . O O . . O . . O . . O O . . . O O . . O . . O O . O O . O O . . O O . O O . O O . . . O O O . . . . . O . . O . . O . . O O O . . . O O O O O . O . O . . . . . O O O O . O O . . O . . . O . O O O O O . . . . O . . O O . O . O . O . O . . . O O . O O O . O . . . O . O . O . O O O . . O . . . O . O O O O . O . . . O O . . O O O . O . . . . . . O . O O O . . O O . . . O . O O O
oval
An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here is an example of a maximum order oval for each solution to this block diagram:
- Solution 1
1 2
- Solution 2
1 2
- Solution 3
1 2
literature
- Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
- Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .
Individual evidence
- ^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.