(43,21,10) block plan

The (43,21,10) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 43 × 43 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 21 ones and any two rows have exactly 10 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 43, k = 21, λ = 10) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .

designation

This symmetrical 2- (43,21,10) block diagram is called the Hadamard block diagram of the 11th order.

properties

This symmetrical block diagram has the parameters v = 43, k = 21, λ = 10 and thus the following properties:

It consists of 43 blocks and 43 points.
Each block contains exactly 21 points.
Every 2 blocks intersect in exactly 10 points.
Each point lies on exactly 21 blocks.
Each 2 points are connected by exactly 10 blocks.

Existence and characterization

There are at least 82 non-isomorphic 2- (43,21,10) block plans. Three of these solutions are:

Solution 1 with the signature 43 · 504. It contains 903 ovals of the 2nd order.
Solution 2 ( dual to solution 3) with the signature 12 x 1, 4 x 2, 3 x 4, 4 x 6, 2 x 7, 2 x 9, 4 x 10, 4 x 11, 2 x 12, 4 x 13 , 2 14. It contains 1 oval of order 3.
Solution 3 ( dual to solution 2) with the signature 12 x 1, 4 x 2, 1 x 4, 2 x 5, 6 x 6, 2 x 7, 4 x 10, 8 x 11, 2 x 13, 2 x 14 . It contains 1 oval of order 3.

List of blocks

All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list

Solution 1

  2   5   7  10  11  12  14  15  16  17  18  22  24  25  26  32  36  37  39  41  42
  3   6   8  11  12  13  15  16  17  18  19  23  25  26  27  33  37  38  40  42  43
  1   4   7   9  12  13  14  16  17  18  19  20  24  26  27  28  34  38  39  41  43
  1   2   5   8  10  13  14  15  17  18  19  20  21  25  27  28  29  35  39  40  42
  2   3   6   9  11  14  15  16  18  19  20  21  22  26  28  29  30  36  40  41  43
  1   3   4   7  10  12  15  16  17  19  20  21  22  23  27  29  30  31  37  41  42
  2   4   5   8  11  13  16  17  18  20  21  22  23  24  28  30  31  32  38  42  43
  1   3   5   6   9  12  14  17  18  19  21  22  23  24  25  29  31  32  33  39  43
  1   2   4   6   7  10  13  15  18  19  20  22  23  24  25  26  30  32  33  34  40
  2   3   5   7   8  11  14  16  19  20  21  23  24  25  26  27  31  33  34  35  41
  3   4   6   8   9  12  15  17  20  21  22  24  25  26  27  28  32  34  35  36  42
  4   5   7   9  10  13  16  18  21  22  23  25  26  27  28  29  33  35  36  37  43
  1   5   6   8  10  11  14  17  19  22  23  24  26  27  28  29  30  34  36  37  38
  2   6   7   9  11  12  15  18  20  23  24  25  27  28  29  30  31  35  37  38  39
  3   7   8  10  12  13  16  19  21  24  25  26  28  29  30  31  32  36  38  39  40
  4   8   9  11  13  14  17  20  22  25  26  27  29  30  31  32  33  37  39  40  41
  5   9  10  12  14  15  18  21  23  26  27  28  30  31  32  33  34  38  40  41  42
  6  10  11  13  15  16  19  22  24  27  28  29  31  32  33  34  35  39  41  42  43
  1   7  11  12  14  16  17  20  23  25  28  29  30  32  33  34  35  36  40  42  43
  1   2   8  12  13  15  17  18  21  24  26  29  30  31  33  34  35  36  37  41  43
  1   2   3   9  13  14  16  18  19  22  25  27  30  31  32  34  35  36  37  38  42
  2   3   4  10  14  15  17  19  20  23  26  28  31  32  33  35  36  37  38  39  43
  1   3   4   5  11  15  16  18  20  21  24  27  29  32  33  34  36  37  38  39  40
  2   4   5   6  12  16  17  19  21  22  25  28  30  33  34  35  37  38  39  40  41
  3   5   6   7  13  17  18  20  22  23  26  29  31  34  35  36  38  39  40  41  42
  4   6   7   8  14  18  19  21  23  24  27  30  32  35  36  37  39  40  41  42  43
  1   5   7   8   9  15  19  20  22  24  25  28  31  33  36  37  38  40  41  42  43
  1   2   6   8   9  10  16  20  21  23  25  26  29  32  34  37  38  39  41  42  43
  1   2   3   7   9  10  11  17  21  22  24  26  27  30  33  35  38  39  40  42  43
  1   2   3   4   8  10  11  12  18  22  23  25  27  28  31  34  36  39  40  41  43
  1   2   3   4   5   9  11  12  13  19  23  24  26  28  29  32  35  37  40  41  42
  2   3   4   5   6  10  12  13  14  20  24  25  27  29  30  33  36  38  41  42  43
  1   3   4   5   6   7  11  13  14  15  21  25  26  28  30  31  34  37  39  42  43
  1   2   4   5   6   7   8  12  14  15  16  22  26  27  29  31  32  35  38  40  43
  1   2   3   5   6   7   8   9  13  15  16  17  23  27  28  30  32  33  36  39  41
  2   3   4   6   7   8   9  10  14  16  17  18  24  28  29  31  33  34  37  40  42
  3   4   5   7   8   9  10  11  15  17  18  19  25  29  30  32  34  35  38  41  43
  1   4   5   6   8   9  10  11  12  16  18  19  20  26  30  31  33  35  36  39  42
  2   5   6   7   9  10  11  12  13  17  19  20  21  27  31  32  34  36  37  40  43
  1   3   6   7   8  10  11  12  13  14  18  20  21  22  28  32  33  35  37  38  41
  2   4   7   8   9  11  12  13  14  15  19  21  22  23  29  33  34  36  38  39  42
  3   5   8   9  10  12  13  14  15  16  20  22  23  24  30  34  35  37  39  40  43
  1   4   6   9  10  11  13  14  15  16  17  21  23  24  25  31  35  36  38  40  41

Solution 2

  1   2   4   8  10  13  14  16  18  20  21  24  25  26  27  29  30  31  32  35  43
  1   2   6   7  12  14  21  23  25  26  27  30  31  32  34  37  38  39  40  41  42
  3   4   7  10  11  14  15  16  18  20  21  22  25  28  29  30  38  39  40  41  42
  1   3   4   6   7   8   9  16  21  22  26  28  29  30  31  33  34  36  37  38  43
  5   7   9  11  13  14  16  17  18  20  21  23  24  25  26  33  34  37  38  39  43
  2   4   6  11  12  13  15  16  17  19  20  29  30  31  32  33  34  38  39  40  43
  2   3   4   5   7   8  10  12  17  22  24  25  26  27  29  33  34  39  40  41  43
  1   4   7   8  11  12  13  15  17  18  19  22  25  26  27  30  35  36  37  38  39
  4   5   9  10  12  19  21  23  24  25  28  29  30  32  35  36  37  38  39  40  43
  1   3   7   9  10  12  13  15  17  19  20  23  24  25  26  28  29  30  31  34  42
  3   5   6   8  12  13  15  18  20  21  22  23  24  26  29  31  32  36  38  39  41
  2   6   7   8   9  10  11  18  19  20  22  23  26  29  31  35  37  39  40  42  43
  1   5   6   8  10  11  15  17  20  21  22  24  27  28  30  32  34  37  39  42  43
  1   2   3   5  15  16  17  18  19  21  25  29  31  34  35  36  37  39  41  42  43
  3   6   8  10  11  13  14  17  19  21  24  25  27  29  31  33  36  37  38  40  42
  1   3   4   5   6  14  17  18  19  20  22  23  25  26  30  32  33  36  40  42  43
  5   6   7   8  10  13  14  15  16  19  22  23  25  29  30  32  33  34  35  37  41
  1   3   5   8  11  12  14  16  19  20  24  26  28  30  31  33  35  37  39  40  41
  6   8   9  10  12  14  15  16  17  18  24  26  30  34  35  36  38  40  41  42  43
  1   3   5   6  10  11  12  13  16  18  22  23  25  27  28  31  34  35  38  40  43
  1   2   3   4   5   9  11  13  14  15  22  24  26  29  32  34  35  37  38  40  42
  3   4   7   8  14  15  18  19  23  24  27  28  31  32  33  34  35  38  39  42  43
  2   5   9  10  13  14  15  18  19  21  22  26  27  28  30  31  33  34  36  39  40
  1   5   7   9  10  12  14  16  17  20  22  27  29  31  32  33  35  36  38  39  42
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  3   4   9  10  11  12  14  15  16  17  19  21  22  23  26  27  31  32  37  41  43
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Solution 3

  1   2   4   8  10  13  14  16  18  20  21  24  25  26  27  29  30  31  32  35  43
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  3   4   7  10  11  14  15  16  18  20  21  22  25  28  29  30  38  39  40  41  42
  1   3   4   6   7   8   9  16  21  22  26  28  29  30  31  33  34  36  37  38  43
  5   7   9  11  13  14  16  17  18  20  21  23  24  25  26  33  34  37  38  39  43
  2   4   6  11  12  13  15  16  17  19  20  29  30  31  32  33  34  38  39  40  43
  2   3   4   5   7   8  10  12  17  22  24  25  26  27  29  33  34  39  40  41  43
  1   4   7   8  11  12  13  15  17  18  19  22  25  26  27  30  35  36  37  38  39
  4   5   9  10  12  19  21  23  24  25  28  29  30  32  35  36  37  38  39  40  43
  1   3   7   9  10  12  13  15  17  19  20  23  24  25  26  28  29  30  31  34  42
  3   5   6   8  12  13  15  18  20  21  25  27  28  30  33  34  35  37  40  42  43
  2   6   7   8   9  10  11  18  19  20  24  25  27  28  30  32  33  34  36  38  41
  1   5   6   8  10  11  15  17  20  21  23  25  26  29  31  33  35  36  38  40  41
  1   2   3   5  15  16  17  18  19  21  22  23  24  26  27  28  30  32  33  38  40
  3   6   8  10  11  13  14  17  19  21  22  23  26  28  30  32  34  35  39  41  43
  1   3   4   5   6  14  17  18  19  20  24  27  28  29  31  34  35  37  38  39  41
  5   6   7   8  10  13  14  15  16  19  24  26  27  28  31  36  38  39  40  42  43
  1   3   5   8  11  12  14  16  19  20  22  23  25  27  29  32  34  36  38  42  43
  6   8   9  10  12  14  15  16  17  18  22  23  25  27  28  29  31  32  33  37  39
  1   3   5   6  10  11  12  13  16  18  24  26  29  30  32  33  36  37  39  41  42
  1   2   3   4   5   9  11  13  14  15  23  25  27  28  30  31  33  36  39  41  43
  3   4   7   8  11  12  13  16  17  20  21  23  24  27  28  31  32  36  37  40  41
  2   5   9  10  11  12  16  17  20  22  26  27  28  30  31  35  37  38  41  42  43
  1   5   7   9  10  11  13  15  18  19  21  22  27  29  31  32  34  37  40  41  43
  1   2   3   5   7   8   9  10  14  15  16  17  20  30  32  34  35  36  37  39  40
  1   2   4   5   7   8  10  11  12  16  18  19  21  23  28  31  33  34  35  39  42
  1   2   7   8  13  15  20  22  23  24  28  29  32  33  35  37  38  39  41  42  43
  3   4   9  10  13  18  20  22  23  26  27  31  32  33  34  35  36  38  39  40  42
  1   3   4   6   7   9  10  11  12  14  15  17  21  24  27  32  33  35  38  42  43
  1   2   3   4   6   8   9  10  13  16  17  18  19  23  25  37  38  40  41  42  43
  1   2   4   6  10  11  12  14  15  18  20  22  23  24  26  28  34  36  37  40  43
  1   2   6   9  11  13  16  17  21  22  24  25  27  28  29  34  35  36  39  40  42
  4   5   6   7  15  16  17  18  22  23  24  25  30  31  32  34  35  36  41  42  43
  2   4   5   6   7  10  13  14  17  19  20  21  22  23  27  29  30  33  36  37  42
  1   8   9  12  14  17  18  19  20  21  22  24  30  31  33  36  39  40  41  42  43
  4   8   9  11  14  15  16  19  23  24  26  27  29  30  33  34  35  37  40  41  42
  2   4   5   8   9  12  13  14  15  17  18  21  26  28  29  32  34  36  38  41  42
  2   3   4   5   6   8   9  11  15  19  20  21  22  24  25  26  31  32  37  39  42
  2   3   5   6   7   8   9  11  12  13  14  18  22  23  24  29  30  31  35  38  40
  2   3   6   7   9  12  15  16  18  19  20  21  23  26  27  29  35  36  39  41  43
  2   3   7  11  14  17  18  19  25  26  28  29  31  32  33  35  36  37  40  42  43
  2   3  10  12  13  14  15  16  19  21  22  24  25  31  33  34  35  36  37  38  41
  1   4   5   6   7   9  12  13  14  16  19  20  22  25  26  28  32  33  35  40  41

Incidence matrix

This is a representation of the incidence matrix of this block diagram; see this illustration to understand this matrix

Solution 1

. O . . O . O . . O O O . O O O O O . . . O . O O O . . . . . O . . . O O . O . O O .
. . O . . O . O . . O O O . O O O O O . . . O . O O O . . . . . O . . . O O . O . O O
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Solution 2

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Solution 3

O O . O . . . O . O . . O O . O . O . O O . . O O O O . O O O O . . O . . . . . . . O
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Cyclical representation

There is a cyclical representation ( Singer cycle ) for solution 1 of this block diagram, it is isomorphic to the above list of blocks. Starting from the block shown, the remaining blocks of the block plan are obtained by cyclic permutation of the points it contains.

Solution 1

  2   5   7  10  11  12  14  15  16  17  18  22  24  25  26  32  36  37  39  41  42

oval

An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here are examples of maximum order ovals from this block diagram:

Solution 1

  1   2

Solution 2 (all ovals)

 11  22  33

Solution 3 (all ovals)

 11  22  33

literature

Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .

Individual evidence

^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.

[1] Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.