(51,25,12) block plan
The (51,25,12) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: An empty 51 × 51 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 25 ones and any two rows have exactly 12 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 51, k = 25, λ = 12) for which such a construction is feasible. In the overview of the smallest symmetrical block plans , the smallest of these (v, k, λ) are listed.
designation
This symmetrical 2- (51,25,12) block diagram is called the 13th-order Hadamard block diagram .
properties
This symmetrical block diagram has the parameters v = 51, k = 25, λ = 12 and thus the following properties:
- It consists of 51 blocks and 51 points.
- Each block contains exactly 25 points.
- Every 2 blocks intersect at exactly 12 points.
- Each point lies on exactly 25 blocks.
- Each 2 points are connected by exactly 12 blocks.
Existence and characterization
There are at least two non-isomorphic 2- (51,25,12) block plans. These solutions are:
- Solution 1 ( dual to solution 2) with the signature 18 x 1, 5 x 2, 4 x 3, 4 x 4, 2 x 6, 2 x 7, 3 x 8, 4 x 9, 2 x 10, 2 x 11 , 2 x 14, 2 x 17, 1 x 18. It contains 1 oval of order 3.
- Solution 2 ( dual to solution 1) with the signature 12 x 1, 2 x 2, 2 x 4, 2 x 7, 6 x 8, 2 x 9, 2 x 10, 4 x 11, 2 x 12, 3 x 14 , 2 x 15, 6 x 16, 2 x 17, 2 x 19, 2 x 21. It contains 1 oval of order 3.
List of blocks
All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list
- Solution 1
1 2 3 5 9 11 12 13 14 17 23 28 29 30 32 34 36 37 38 39 40 44 45 47 48 1 2 3 7 8 12 14 16 19 20 21 22 25 27 29 30 37 38 40 42 43 45 48 50 51 1 2 3 6 7 9 10 13 16 17 18 19 23 24 25 27 28 30 33 35 38 39 42 44 50 4 5 7 8 9 10 12 18 19 20 23 24 25 26 30 31 32 37 38 39 43 44 47 48 51 1 4 5 7 9 11 13 15 16 18 22 32 35 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 50 51 3 6 8 9 10 11 13 16 19 26 28 29 30 32 33 34 37 38 41 42 43 46 48 49 51 2 3 4 5 7 10 13 20 23 26 27 28 31 32 33 35 36 37 40 42 43 45 48 49 50 2 4 6 8 9 12 13 17 21 23 24 27 30 33 39 40 41 43 45 46 47 48 49 50 51 1 3 4 5 6 8 9 14 15 16 19 20 21 26 27 28 33 34 35 39 40 43 44 47 48 3 4 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 23 27 30 32 35 37 38 39 41 47 49 1 5 6 10 11 12 14 17 18 19 20 23 25 27 28 35 36 38 40 41 43 46 48 49 51 1 2 4 8 10 11 12 13 16 22 25 27 28 29 31 33 35 36 37 39 43 44 46 47 51 1 3 5 6 7 8 10 12 15 17 22 24 26 28 30 35 37 40 42 44 45 46 47 49 51 1 2 9 10 11 15 19 20 21 22 23 24 26 29 33 35 36 38 39 42 45 47 48 49 51 5 9 10 13 14 16 17 20 21 22 24 25 26 27 28 29 32 38 43 44 45 46 47 49 50 2 3 5 6 9 10 12 15 18 21 22 25 26 27 32 33 34 36 37 38 39 40 46 50 51 1 3 8 11 13 15 18 20 21 23 24 25 28 31 34 37 38 39 40 42 43 46 47 49 50 3 4 5 11 16 17 19 21 22 23 24 25 26 28 30 34 35 36 37 39 41 43 45 50 51 2 3 4 6 9 11 14 18 20 22 24 25 27 28 30 31 32 34 35 42 45 46 47 48 51 2 4 7 9 10 11 14 15 17 19 21 25 30 31 33 34 35 37 38 40 43 44 45 46 49 2 8 9 10 14 15 16 17 18 20 22 23 26 28 29 30 31 35 37 39 40 41 46 48 50 2 5 10 12 13 14 15 16 18 19 21 24 27 28 31 34 37 39 41 42 44 45 48 49 51 1 3 4 7 8 10 11 14 17 18 21 24 26 27 28 29 31 32 33 38 39 40 41 45 51 3 4 8 13 14 15 17 18 19 22 23 25 26 27 33 36 37 38 41 42 44 45 46 47 48 2 3 4 11 12 15 16 17 18 19 20 24 26 27 29 30 32 36 39 40 42 43 44 46 49 4 6 7 9 17 19 20 22 27 28 29 31 34 36 37 38 39 40 41 42 44 47 49 50 51 2 3 7 8 9 10 11 12 13 14 17 18 20 21 26 34 35 36 41 42 43 44 47 50 51 1 3 6 7 9 11 12 14 16 20 24 25 26 31 33 36 37 39 41 44 45 46 48 49 50 1 2 6 12 13 16 17 18 19 20 22 24 26 31 32 33 34 35 37 38 40 41 43 45 47 1 2 3 4 6 8 10 14 15 16 17 22 23 24 31 32 34 36 38 43 44 48 49 50 51 4 7 12 13 14 15 16 18 24 25 26 28 29 30 33 34 35 36 38 40 47 48 49 50 51 1 4 5 6 7 10 13 14 17 18 20 21 22 24 29 30 33 34 36 37 39 42 43 46 48 3 6 7 8 9 12 13 15 17 18 19 21 22 25 28 29 31 32 35 36 39 43 45 48 49 1 6 9 13 14 15 21 23 24 25 26 27 29 30 31 32 35 36 37 40 41 42 43 44 51 3 5 7 9 10 11 12 15 16 17 22 23 24 25 27 29 31 33 34 40 41 42 43 47 48 1 7 11 12 13 15 17 19 20 21 22 23 26 27 28 30 31 32 33 34 44 46 48 50 51 1 2 4 6 7 10 12 14 15 19 23 25 26 28 29 32 34 39 41 42 43 45 46 47 50 1 2 3 4 5 6 10 11 13 18 19 21 22 25 26 29 30 31 40 41 44 47 48 49 50 1 3 4 5 8 9 10 12 13 15 19 20 24 27 29 30 31 34 35 36 38 41 45 46 50 1 2 5 7 8 9 11 14 15 18 19 22 24 27 28 30 32 33 36 37 41 43 47 49 50 5 6 8 10 11 13 14 15 16 17 19 20 25 30 31 32 33 36 39 40 42 45 47 50 51 2 3 5 6 7 15 16 18 20 21 23 28 29 30 31 33 36 38 41 43 44 45 46 47 51 2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 16 19 21 22 23 24 26 28 31 36 38 40 42 46 1 3 4 5 9 12 14 16 17 18 19 21 23 29 31 32 33 35 37 42 46 47 49 50 51 1 2 5 7 8 16 17 21 25 26 27 30 31 32 34 35 36 38 39 41 42 46 47 48 49 5 6 8 11 12 14 18 22 23 26 27 29 30 31 33 34 35 38 39 42 43 44 45 49 50 1 4 8 9 10 12 16 18 20 21 22 23 25 28 30 32 33 34 36 40 41 42 44 45 49 1 2 4 5 6 7 8 9 11 13 15 16 17 18 20 23 25 26 27 29 34 37 45 49 51 6 7 8 10 11 16 18 19 21 23 24 27 29 32 34 35 36 37 40 44 45 46 47 48 50 2 3 5 7 8 13 14 19 20 22 23 24 25 29 32 33 34 35 39 40 41 44 46 49 51 2 4 5 6 8 11 12 15 17 20 21 24 25 28 29 32 33 35 37 38 41 42 44 48 50
- Solution 2
1 2 3 5 9 11 12 13 14 17 23 28 29 30 32 34 36 37 38 39 40 44 45 47 48 1 2 3 7 8 12 14 16 19 20 21 22 25 27 29 30 37 38 40 42 43 45 48 50 51 1 2 3 6 7 9 10 13 16 17 18 19 23 24 25 27 28 30 33 35 38 39 42 44 50 4 5 7 8 9 10 12 18 19 20 23 24 25 26 30 31 32 37 38 39 43 44 47 48 51 1 4 5 7 9 11 13 15 16 18 22 32 35 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 50 51 3 6 8 9 10 11 13 16 19 26 28 29 30 32 33 34 37 38 41 42 43 46 48 49 51 2 3 4 5 7 10 13 20 23 26 27 28 31 32 33 35 36 37 40 42 43 45 48 49 50 2 4 6 8 9 12 13 17 21 23 24 27 30 33 39 40 41 43 45 46 47 48 49 50 51 1 3 4 5 6 8 9 14 15 16 19 20 21 26 27 28 33 34 35 39 40 43 44 47 48 3 4 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 23 27 30 32 35 37 38 39 41 47 49 1 5 6 10 11 12 14 17 18 19 20 23 25 27 28 35 36 38 40 41 43 46 48 49 51 1 2 4 8 10 11 12 13 16 22 25 27 28 29 31 33 35 36 37 39 43 44 46 47 51 1 3 5 6 7 8 10 12 15 17 22 24 27 29 31 32 33 34 36 38 39 41 43 48 50 1 2 9 10 11 15 19 20 21 22 23 24 27 28 30 31 32 34 37 40 41 43 44 46 50 5 9 10 13 14 16 17 20 21 22 24 25 30 31 33 34 35 36 37 39 40 41 42 48 51 2 3 5 6 9 10 12 15 18 21 22 25 28 29 30 31 35 41 42 43 44 45 47 48 49 1 3 8 11 13 15 18 20 21 23 24 25 26 27 29 30 32 33 35 36 41 44 45 48 51 3 4 5 11 16 17 19 21 22 23 24 25 27 29 31 32 33 38 40 42 44 46 47 48 49 2 3 4 6 9 11 14 18 20 22 24 25 26 29 33 36 37 38 39 40 41 43 44 49 50 2 4 7 9 10 11 14 15 17 19 21 25 26 27 28 29 32 36 39 41 42 47 48 50 51 2 8 9 10 14 15 16 17 18 20 22 23 27 32 33 34 36 38 42 43 44 45 47 49 51 2 5 10 12 13 14 15 16 18 19 21 24 26 29 30 32 33 35 36 38 40 43 46 47 50 1 3 4 7 8 10 11 14 17 18 21 24 30 34 35 36 37 42 43 44 46 47 48 49 50 3 4 8 13 14 15 17 18 19 22 23 25 28 29 30 31 32 34 35 39 40 43 49 50 51 2 3 4 11 12 15 16 17 18 19 20 24 28 31 33 34 35 37 38 41 45 47 48 50 51 4 6 7 9 13 14 15 16 18 21 23 24 25 27 28 29 31 34 36 37 38 43 45 46 48 2 3 7 8 9 10 11 12 15 16 19 22 23 24 25 26 34 35 36 39 40 45 46 48 49 1 3 6 7 9 11 12 13 15 17 18 19 21 22 23 26 31 33 36 37 40 42 43 47 51 1 2 6 12 14 15 21 23 25 26 31 32 33 34 35 37 38 39 42 44 46 48 49 50 51 1 2 3 4 6 8 10 13 18 19 20 21 25 31 32 34 36 38 39 40 41 42 45 46 47 4 7 12 17 19 20 21 22 23 26 28 29 30 33 34 35 36 38 39 41 42 43 44 45 46 1 4 5 6 7 10 15 16 19 23 25 29 30 33 34 36 37 40 41 44 45 47 49 50 51 3 6 7 8 9 12 14 16 20 23 24 28 29 31 32 35 36 40 41 42 44 46 47 50 51 1 6 9 16 17 18 19 20 22 26 27 29 30 31 32 35 36 37 39 45 46 47 48 49 50 3 5 7 9 10 11 12 13 14 18 19 20 21 27 29 31 33 34 39 44 45 46 49 50 51 1 7 11 12 14 16 18 24 25 26 27 28 30 31 32 33 34 39 40 41 42 43 45 47 49 1 2 4 6 7 10 12 13 16 17 18 20 21 22 24 26 28 29 32 34 40 44 48 49 51 1 2 3 4 5 6 10 11 14 15 16 17 20 23 24 26 29 30 31 39 42 43 45 46 51 1 3 4 5 8 9 10 12 14 16 17 18 21 22 23 25 26 28 32 33 37 41 45 46 50 1 2 5 7 8 9 11 13 16 17 20 21 23 25 26 29 31 34 35 38 41 43 47 49 50 5 6 8 10 11 18 21 22 23 24 26 27 28 29 34 35 37 38 39 40 42 45 47 50 51 2 3 5 6 7 13 14 17 19 22 24 25 26 27 32 34 35 37 41 43 44 45 46 47 51 2 4 5 6 7 8 9 11 12 15 17 18 20 25 27 29 30 32 33 34 35 37 40 42 46 1 3 4 5 9 12 13 15 20 22 24 25 26 27 28 30 34 36 38 42 46 47 49 50 51 1 2 5 7 8 13 14 15 18 19 20 22 23 24 28 29 33 37 39 41 42 46 47 48 49 5 6 8 11 12 13 15 16 17 19 20 21 24 25 28 32 36 37 39 42 43 44 45 49 50 1 4 8 9 10 12 13 14 15 17 19 24 26 27 29 31 35 37 38 40 41 42 44 45 49 1 2 4 5 6 7 8 9 11 14 19 21 22 24 28 30 31 32 33 35 36 38 45 49 51 6 7 8 10 11 13 14 15 17 20 22 25 26 28 30 31 33 38 40 44 45 46 47 48 50 2 3 5 7 8 15 16 17 18 21 26 27 28 30 31 36 37 38 39 40 41 44 46 49 51 2 4 5 6 8 11 12 13 14 16 18 19 22 23 26 27 30 31 34 36 41 42 44 48 50
Incidence matrix
This is a representation of the incidence matrix of this block diagram; see this illustration to understand this matrix
- Solution 1
O O O . O . . . O . O O O O . . O . . . . . O . . . . O O O . O . O . O O O O O . . . O O . O O . . . O O O . . . O O . . . O . O . O . . O O O O . . O . O . O O . . . . . . O O . O . O O . O . . O . O O O O O . . O O . O O . . O . . O O O O . . . O O O . O O . O . . O . O . . O O . . O . O . . . . . O . . . . O O . O O O O . O . . . . . O O O . . O O O O . . . O O O . . . . O O O . . . O O . . O O . . O O . . O O . O . O . O . O . O O . O . . . O . . . . . . . . . O . . O . . O O O O O O O O O . O . O O . . O . . O . O O O O . O . . O . . O . . . . . . O . O O O . O O O . . O O . . O O O . . O . O O . O . O O O O . O . . O . . O . . . . . . O . . O . . O O O . . O O O . O O O . . O . O O . O . . O O O . . O . O . O . O O . . O O . . . O . . . O . O O . . O . . O . . O . . . . . O O O . O . O O O O O O O O . O O O O . O O . . . . O O O . . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O . . O O . . O O . . . . . O O . O O . . O O O O O O O . . . O O O O . . . O . . O . O . . O . O O O . 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- Solution 2
O O O . O . . . O . O O O O . . O . . . . . O . . . . O O O . O . O . O O O O O . . . O O . O O . . . O O O . . . O O . . . O . O . O . . O O O O . . O . O . O O . . . . . . O O . O . O O . O . . O . O O O O O . . O O . O O . . O . . O O O O . . . O O O . O O . O . . O . O . . O O . . O . O . . . . . O . . . . O O . O O O O . O . . . . . O O O . . O O O O . . . O O O . . . . O O O . . . O O . . O O . . O O . . O O . O . O . O . O . O O . O . . . O . . . . . . . . . O . . O . . O O O O O O O O O . O . O O . . O . . O . O O O O . O . . O . . O . . . . . . O . O O O . O O O . . O O . . O O O . . O . O O . O . O O O O . O . . O . . O . . . . . . O . . O . . O O O . . O O O . O O O . . O . O O . O . . O O O . . O . O . O . O O . . O O . . . O . . . O . O O . . O . . O . . O . . . . . O O O . O . O O O O O O O O . O O O O . O O . . . . O O O . . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O . . O O . . O O . . . . . O O . O O . . O O O O O O O . . . O O O O . . . O . . O . O . . O . O O O . 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oval
An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here are all the ovals of maximum order on this block diagram:
- Solution 1 (all ovals)
13 26 39
- Solution 2 (all ovals)
13 26 39
literature
- Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
- Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .
Individual evidence
- ^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.