(105,40,15) block plan

The (105,40,15) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 105 × 105 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 40 ones and any two rows have exactly 15 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 105, k = 40, λ = 15) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .

properties

This symmetrical block diagram has the parameters v = 105, k = 40, λ = 15 and thus the following properties:

It consists of 105 blocks and 105 points.
Each block contains exactly 40 points.
Every 2 blocks intersect at exactly 15 points.
Each point lies on exactly 40 blocks.
Each 2 points are connected by exactly 15 blocks.

Existence and characterization

There are at least four non-isomorphic 2- (105,40,15) block plans. These solutions are:

Solution 1 ( dual to solution 2) with the signature 50 · 1, 50 · 2/1, 5 · 10. It contains 5460 ovals of the 2nd order.
Solution 2 (dual to solution 1) with the signature 50 · 1, 50 · 2/3, 5 · 10. It contains 5460 ovals of the 2nd order.
Solution 3 (dual to solution 4) with the signature 100 · 2, 5 · 20. It contains 5460 ovals of the 2nd order.
Solution 4 (dual to solution 3) with the signature 50 x 3, 5 x 10, 50 x 24. It contains 5460 ovals of the 2nd order.

List of blocks

All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list

Solution 1

 1  7 11 14 18 20 23 25 26 29 31 32 35 38 44 45 49 50 53 59 61 62 65 66 67 68 71 72 73 76 77 80 82 85 87  89  90 102 104 105
 1  8 12 15 16 19 21 24 27 30 31 32 33 39 41 45 46 50 54 60 61 62 63 67 68 69 72 73 74 76 77 78 81 83 86  88  90 101 103 105
 1  9 11 13 17 20 22 25 26 28 32 33 34 40 41 42 46 47 55 56 62 63 64 68 69 70 73 74 75 77 78 79 82 84 86  87  89 101 102 104
 1 10 12 14 16 18 21 23 27 29 33 34 35 36 42 43 47 48 51 57 63 64 65 66 69 70 71 74 75 78 79 80 83 85 87  88  90 102 103 105
 1  6 13 15 17 19 22 24 28 30 31 34 35 37 43 44 48 49 52 58 61 64 65 66 67 70 71 72 75 76 79 80 81 84 86  88  89 101 103 104
 2  6  9 12 16 19 23 25 28 30 33 36 37 40 43 49 50 54 55 56 57 60 64 66 67 70 71 72 73 76 77 78 82 84 85  87  90  92  94  95
 2  7 10 13 17 20 21 24 26 29 34 36 37 38 44 46 50 51 55 56 57 58 65 66 67 68 72 73 74 77 78 79 81 83 85  86  88  91  93  95
 2  6  8 14 16 18 22 25 27 30 35 37 38 39 45 46 47 51 52 57 58 59 61 67 68 69 73 74 75 78 79 80 81 82 84  87  89  91  92  94
 2  7  9 15 17 19 21 23 26 28 31 38 39 40 41 47 48 52 53 58 59 60 62 68 69 70 71 74 75 76 79 80 82 83 85  88  90  92  93  95
 2  8 10 11 18 20 22 24 27 29 32 36 39 40 42 48 49 53 54 56 59 60 63 66 69 70 71 72 75 76 77 80 81 83 84  86  89  91  93  94
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Solution 3

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Solution 4

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11 12 15 16 19 21 22 25 27 28 30 32 33 35 36 37 39 42 46 47 49 52 54 57 59 61 66 69 70 71 79 80 84 85 87  88  91  97  98 104
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oval

An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here is an example of a maximum order oval for each solution to this block diagram:

Solution 1

  1   2

Solution 2

  1   2

Solution 3

  1   2

Solution 4

  1   2

literature

Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .

Individual evidence

^ Zvonimir Janko : The existence of symmetric designs with parameters (105, 40, 15). In: Journal of Combinatorial Designs. Vol. 7, No. 1, 1999, pp. 17-19, doi : 10.1002 / (SICI) 1520-6610 (1999) 7: 1 <17 :: AID-JCD3> 3.0.CO; 2-K .
^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.

[1] Zvonimir Janko : The existence of symmetric designs with parameters (105, 40, 15). In: Journal of Combinatorial Designs. Vol. 7, No. 1, 1999, pp. 17-19, doi : 10.1002 / (SICI) 1520-6610 (1999) 7: 1 <17 :: AID-JCD3> 3.0.CO; 2-K .

[2] Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.