(39,19,9) block plan

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The (39,19,9) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 39 × 39 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 19 ones and any two rows have exactly 9 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 39, k = 19, λ = 9) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .

designation

This symmetrical 2- (39,19,9) block diagram is called the Hadamard block diagram of the 10th order.

properties

This symmetrical block diagram has the parameters v = 39, k = 19, λ = 9 and thus the following properties:

  • It consists of 39 blocks and 39 points.
  • Each block contains exactly 19 points.
  • Every 2 blocks intersect in exactly 9 points.
  • Each point lies on exactly 19 blocks.
  • Each 2 points are connected by exactly 9 blocks.

Existence and characterization

There are at least 5.87 · 10 14 non-isomorphic 2- (39,19,9) -block plans. Three of these solutions are:

  • Solution 1 with the signature 19 · 18, 19 · 30, 1 · 684. It contains 741 ovals of the 2nd order.
  • Solution 2 with the signature 4 x 6, 12 x 10, 12 x 14, 4 x 18, 3 x 24, 3 x 40, 1 x 84. It contains 741 ovals of the 2nd order.
  • Solution 3 with the signature 4 x 8, 9 x 12, 8 x 16, 9 x 20, 4 x 24, 1 x 36, 1 x 40, 1 x 44, 1 x 68, 1 x 72. It contains 741 ovals of the 2nd order.

List of blocks

All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list

  • Solution 1
  2   5   6   7   8  10  12  17  18  20  22  25  26  27  28  30  32  37  38
  3   6   7   8   9  11  13  18  19  20  23  26  27  28  29  31  33  38  39
  1   4   7   8   9  10  12  14  19  20  21  24  27  28  29  30  32  34  39
  1   2   5   8   9  10  11  13  15  20  21  22  25  28  29  30  31  33  35
  2   3   6   9  10  11  12  14  16  20  22  23  26  29  30  31  32  34  36
  3   4   7  10  11  12  13  15  17  20  23  24  27  30  31  32  33  35  37
  4   5   8  11  12  13  14  16  18  20  24  25  28  31  32  33  34  36  38
  5   6   9  12  13  14  15  17  19  20  25  26  29  32  33  34  35  37  39
  1   6   7  10  13  14  15  16  18  20  21  26  27  30  33  34  35  36  38
  2   7   8  11  14  15  16  17  19  20  22  27  28  31  34  35  36  37  39
  1   3   8   9  12  15  16  17  18  20  21  23  28  29  32  35  36  37  38
  2   4   9  10  13  16  17  18  19  20  22  24  29  30  33  36  37  38  39
  1   3   5  10  11  14  17  18  19  20  21  23  25  30  31  34  37  38  39
  1   2   4   6  11  12  15  18  19  20  21  22  24  26  31  32  35  38  39
  1   2   3   5   7  12  13  16  19  20  21  22  23  25  27  32  33  36  39
  1   2   3   4   6   8  13  14  17  20  21  22  23  24  26  28  33  34  37
  2   3   4   5   7   9  14  15  18  20  22  23  24  25  27  29  34  35  38
  3   4   5   6   8  10  15  16  19  20  23  24  25  26  28  30  35  36  39
  1   4   5   6   7   9  11  16  17  20  21  24  25  26  27  29  31  36  37
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19
  2   5   6   7   8  10  12  17  18  21  23  24  29  31  33  34  35  36  39
  3   6   7   8   9  11  13  18  19  21  22  24  25  30  32  34  35  36  37
  1   4   7   8   9  10  12  14  19  22  23  25  26  31  33  35  36  37  38
  1   2   5   8   9  10  11  13  15  23  24  26  27  32  34  36  37  38  39
  2   3   6   9  10  11  12  14  16  21  24  25  27  28  33  35  37  38  39
  3   4   7  10  11  12  13  15  17  21  22  25  26  28  29  34  36  38  39
  4   5   8  11  12  13  14  16  18  21  22  23  26  27  29  30  35  37  39
  5   6   9  12  13  14  15  17  19  21  22  23  24  27  28  30  31  36  38
  1   6   7  10  13  14  15  16  18  22  23  24  25  28  29  31  32  37  39
  2   7   8  11  14  15  16  17  19  21  23  24  25  26  29  30  32  33  38
  1   3   8   9  12  15  16  17  18  22  24  25  26  27  30  31  33  34  39
  2   4   9  10  13  16  17  18  19  21  23  25  26  27  28  31  32  34  35
  1   3   5  10  11  14  17  18  19  22  24  26  27  28  29  32  33  35  36
  1   2   4   6  11  12  15  18  19  23  25  27  28  29  30  33  34  36  37
  1   2   3   5   7  12  13  16  19  24  26  28  29  30  31  34  35  37  38
  1   2   3   4   6   8  13  14  17  25  27  29  30  31  32  35  36  38  39
  2   3   4   5   7   9  14  15  18  21  26  28  30  31  32  33  36  37  39
  3   4   5   6   8  10  15  16  19  21  22  27  29  31  32  33  34  37  38
  1   4   5   6   7   9  11  16  17  22  23  28  30  32  33  34  35  38  39
  • Solution 2
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29
  1   2   3   4  10  11  12  13  14  20  21  22  23  24  30  31  32  33  34
  1   2   3   5  10  15  16  17  18  20  21  22  23  25  30  35  36  37  38
  1   2   6   7  11  12  15  16  19  20  21  22  26  27  31  32  35  36  39
  1   3   6   7  13  14  17  18  19  20  21  23  26  27  33  34  37  38  39
  1   4   5   8  11  13  15  17  19  20  21  24  25  28  31  33  35  37  39
  1   4   5   9  12  14  16  18  19  20  21  24  25  29  32  34  36  38  39
  1   6   8   9  10  11  14  16  17  20  21  26  28  29  30  31  34  36  37
  1   7   8   9  10  12  13  15  18  20  21  27  28  29  30  32  33  35  38
  2   3   8   9  11  14  15  18  19  20  22  23  28  29  31  34  35  38  39
  2   4   6   8  10  12  17  18  19  20  22  24  26  28  30  32  37  38  39
  2   4   7   9  11  13  16  17  18  20  22  24  27  29  31  33  36  37  38
  2   5   6   9  12  13  14  15  17  20  22  25  26  29  32  33  34  35  37
  2   5   7   8  10  13  14  16  19  20  22  25  27  28  30  33  34  36  39
  3   4   6   9  10  13  15  16  19  20  23  24  26  29  30  33  35  36  39
  3   4   7   8  12  14  15  16  17  20  23  24  27  28  32  34  35  36  37
  3   5   6   8  11  12  13  16  18  20  23  25  26  28  31  32  33  36  38
  3   5   7   9  10  11  12  17  19  20  23  25  27  29  30  31  32  37  39
  4   5   6   7  10  11  14  15  18  20  24  25  26  27  30  31  34  35  38
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39
  1   2   3   4  10  11  12  13  14  25  26  27  28  29  35  36  37  38  39
  1   2   3   5  10  15  16  17  18  24  26  27  28  29  31  32  33  34  39
  1   2   6   7  11  12  15  16  19  23  24  25  28  29  30  33  34  37  38
  1   3   6   7  13  14  17  18  19  22  24  25  28  29  30  31  32  35  36
  1   4   5   8  11  13  15  17  19  22  23  26  27  29  30  32  34  36  38
  1   4   5   9  12  14  16  18  19  22  23  26  27  28  30  31  33  35  37
  1   6   8   9  10  11  14  16  17  22  23  24  25  27  32  33  35  38  39
  1   7   8   9  10  12  13  15  18  22  23  24  25  26  31  34  36  37  39
  2   3   8   9  11  14  15  18  19  21  24  25  26  27  30  32  33  36  37
  2   4   6   8  10  12  17  18  19  21  23  25  27  29  31  33  34  35  36
  2   4   7   9  11  13  16  17  18  21  23  25  26  28  30  32  34  35  39
  2   5   6   9  12  13  14  15  17  21  23  24  27  28  30  31  36  38  39
  2   5   7   8  10  13  14  16  19  21  23  24  26  29  31  32  35  37  38
  3   4   6   9  10  13  15  16  19  21  22  25  27  28  31  32  34  37  38
  3   4   7   8  12  14  15  16  17  21  22  25  26  29  30  31  33  38  39
  3   5   6   8  11  12  13  16  18  21  22  24  27  29  30  34  35  37  39
  3   5   7   9  10  11  12  17  19  21  22  24  26  28  33  34  35  36  38
  4   5   6   7  10  11  14  15  18  21  22  23  28  29  32  33  36  37  39
  • Solution 3
  1   5   6  12  14  15  16  17  19  20  21  25  26  32  34  35  36  37  39
  2   5   7  10  12  13  14  18  19  20  22  25  27  30  32  33  34  38  39
  3   5   8  10  11  12  13  16  17  20  23  25  28  30  31  32  33  36  37
  4   5   9  11  13  15  16  18  19  20  24  25  29  31  33  35  36  38  39
  1   2   3   4  10  16  17  18  19  20  21  22  23  24  30  36  37  38  39
  1   7   8   9  10  13  15  17  19  20  21  27  28  29  30  33  35  37  39
  2   6   8   9  11  12  17  18  19  20  22  26  28  29  31  32  37  38  39
  3   6   7   9  13  14  16  17  18  20  23  26  27  29  33  34  36  37  38
  4   6   7   8  10  12  15  16  18  20  24  26  27  28  30  32  35  36  38
  2   3   7   8  11  14  15  16  19  20  22  23  27  28  31  34  35  36  39
  3   4   5   6   8   9  10  14  19  20  23  24  25  26  28  29  30  34  39
  1   2   3   5   6   8  13  15  18  20  21  22  23  25  26  28  33  35  38
  2   3   4   5   7   9  12  15  17  20  22  23  24  25  27  29  32  35  37
  1   2   5   6   7   9  10  11  16  20  21  22  25  26  27  29  30  31  36
  1   4   5   7   8  11  14  17  18  20  21  24  25  27  28  31  34  37  38
  1   3   4   6   7  11  12  13  19  20  21  23  24  26  27  31  32  33  39
  1   3   9  10  11  12  14  15  18  20  21  23  29  30  31  32  34  35  38
  2   4   6  10  11  13  14  15  17  20  22  24  26  30  31  33  34  35  37
  1   2   4   8   9  12  13  14  16  20  21  22  24  28  29  32  33  34  36
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19
  1   5   6  12  14  15  16  17  19  22  23  24  27  28  29  30  31  33  38
  2   5   7  10  12  13  14  18  19  21  23  24  26  28  29  31  35  36  37
  3   5   8  10  11  12  13  16  17  21  22  24  26  27  29  34  35  38  39
  4   5   9  11  13  15  16  18  19  21  22  23  26  27  28  30  32  34  37
  1   2   3   4  10  16  17  18  19  25  26  27  28  29  31  32  33  34  35
  1   7   8   9  10  13  15  17  19  22  23  24  25  26  31  32  34  36  38
  2   6   8   9  11  12  17  18  19  21  23  24  25  27  30  33  34  35  36
  3   6   7   9  13  14  16  17  18  21  22  24  25  28  30  31  32  35  39
  4   6   7   8  10  12  15  16  18  21  22  23  25  29  31  33  34  37  39
  2   3   7   8  11  14  15  16  19  21  24  25  26  29  30  32  33  37  38
  3   4   5   6   8   9  10  14  19  21  22  27  31  32  33  35  36  37  38
  1   2   3   5   6   8  13  15  18  24  27  29  30  31  32  34  36  37  39
  2   3   4   5   7   9  12  15  17  21  26  28  30  31  33  34  36  38  39
  1   2   5   6   7   9  10  11  16  23  24  28  32  33  34  35  37  38  39
  1   4   5   7   8  11  14  17  18  22  23  26  29  30  32  33  35  36  39
  1   3   4   6   7  11  12  13  19  22  25  28  29  30  34  35  36  37  38
  1   3   9  10  11  12  14  15  18  22  24  25  26  27  28  33  36  37  39
  2   4   6  10  11  13  14  15  17  21  23  25  27  28  29  32  36  38  39
  1   2   4   8   9  12  13  14  16  23  25  26  27  30  31  35  37  38  39

Incidence matrix

This is a representation of the incidence matrix of this block diagram; see this illustration to understand this matrix

  • Solution 1
. O . . O O O O . O . O . . . . O O . O . O . . O O O O . O . O . . . . O O .
. . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O
O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O
O O . . O . . O O O O . O . O . . . . O O O . . O . . O O O O . O . O . . . .
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. . O O . . O . . O O O O . O . O . . O . . O O . . O . . O O O O . O . O . .
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. . . . O O . . O . . O O O O . O . O O . . . . O O . . O . . O O O O . O . O
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O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O
O O O O . O . O . . . . O O . . O . . O O O O O . O . O . . . . O O . . O . .
. O O O O . O . O . . . . O O . . O . O . O O O O . O . O . . . . O O . . O .
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O . . O O O O . O . O . . . . O O . . . . O O . . . . O . O . O O O O . . O O
  • Solution 2
O O O O O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O . . . . . . . . . .
O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O . . . . .
O O O . O . . . . O . . . . O O O O . O O O O . O . . . . O . . . . O O O O .
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O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O
O O O O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . O O O O O
O O O . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . O . O O O O . O O O O . . . . O
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. . . O O O O . . O O . . O O . . O . . O O O . . . . O O . . O O . . O O . O
  • Solution 3
O . . . O O . . . . . O . O O O O . O O O . . . O O . . . . . O . O O O O . O
. O . . O . O . . O . O O O . . . O O O . O . . O . O . . O . O O O . . . O O
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O O . O . . . O O . . O O O . O . . . . . . O . O O O . . O O . . . O . O O O

oval

An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here is an example of a maximum order oval for each solution to this block diagram:

  • Solution 1
  1   2
  • Solution 2
  1   2
  • Solution 3
  1   2

literature

Individual evidence

  1. ^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.