(56,11,2) block plan
The (56,11,2) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 56 × 56 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 11 ones and any two rows have exactly 2 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 56, k = 11, λ = 2) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .
designation
This symmetrical 2- (56,11,2) block plan is called a 9th order biplane .
properties
This symmetrical block diagram has the parameters v = 56, k = 11, λ = 2 and thus the following properties:
- It consists of 56 blocks and 56 points.
- Each block contains exactly 11 points.
- Every 2 blocks intersect in exactly 2 points.
- Each point lies on exactly 11 blocks.
- Every 2 points are connected by exactly 2 blocks.
Existence and characterization
There are exactly five non-isomorphic 2- (56,11,2) - block plans. These solutions are:
- Solution 1 ( self-dual ) with the signature 56 · 45 and the λ-chains 2520 · 3, 5040 · 4. It contains 336 ovals of the 6th order.
- Solution 2 ( self-dual ) with the signature 36 21, 18 29, 2 45 and the λ-chains 1368 3, 2304 4, 144 5, 720 7, 288 8, 576 11. It contains 120 ovals of the 6th order.
- Solution 3 ( self-dual ) with the signature 48 19, 4 21, 4 29 and the λ-chains 1112 3, 1424 4, 352 5, 128 6, 544 7, 224 8, 960 11. It contains 64 ovals of the 6th order.
- Solution 4 ( self-dual ) with the signature 36 13, 18 21, 2 45 and the λ-chains 936 3, 1224 4, 288 5, 288 6, 576 7, 612 8, 720 11. It contains 48 ovals of the 6th order.
- Solution 5 ( self-dual ) with the signature 30 11, 8 12, 18 15 and the λ-chains 696 3, 528 4, 360 5, 216 6, 408 7, 348 8, 1344 11. It contains 44 ovals of the 6th order.
List of blocks
All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list
- Solution 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 30 34 37 41 43 48 52 55 2 4 13 22 24 38 44 45 47 55 56 2 5 14 23 25 34 35 44 49 50 51 2 6 15 24 26 29 32 41 49 53 54 2 7 16 25 27 30 33 36 39 53 56 2 8 17 26 28 33 35 37 40 42 45 2 9 18 21 27 29 40 43 46 47 50 2 10 19 22 28 31 32 36 46 48 51 2 11 20 21 23 31 38 39 42 52 54 3 4 18 20 21 36 37 45 49 51 53 3 5 13 19 22 33 42 43 50 53 54 3 6 14 20 23 32 33 40 47 48 56 3 7 13 15 24 35 39 40 46 51 52 3 8 14 16 25 29 31 45 46 54 55 3 9 15 17 26 31 34 36 38 50 56 3 10 16 18 27 32 35 38 41 42 44 3 11 17 19 28 29 30 39 44 47 49 4 5 15 18 25 28 29 42 48 52 56 4 6 12 16 28 30 38 40 50 51 54 4 7 19 20 25 26 31 40 41 43 44 4 8 15 19 23 27 32 37 39 50 55 4 9 16 17 22 23 33 41 46 49 52 4 10 12 14 26 34 39 42 46 47 53 4 11 14 17 24 27 35 36 43 48 54 5 6 16 19 21 26 35 36 47 52 55 5 7 12 17 21 32 37 44 46 54 56 5 8 13 20 26 27 30 38 46 48 49 5 9 16 20 24 28 32 34 39 43 45 5 10 17 18 23 24 30 31 40 53 55 5 11 12 15 27 31 33 41 45 47 51 6 7 17 20 22 27 29 34 42 51 55 6 8 12 18 22 31 35 39 43 49 56 6 9 13 14 27 28 31 37 44 52 53 6 10 13 17 21 25 39 41 45 48 50 6 11 18 19 24 25 33 34 37 38 46 7 8 13 18 23 28 34 36 41 47 54 7 9 12 19 23 29 35 38 45 48 53 7 10 14 15 21 28 33 38 43 49 55 7 11 14 18 22 26 30 32 45 50 52 8 9 14 19 21 24 30 41 42 51 56 8 10 12 20 24 29 33 36 44 50 52 8 11 15 16 21 22 34 40 44 48 53 9 10 15 20 22 25 30 35 37 47 54 9 11 12 13 25 32 36 40 42 49 55 10 11 13 16 23 26 29 37 43 51 56
- Solution 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 30 34 37 41 43 48 52 55 2 4 17 22 24 32 37 44 46 54 56 2 5 14 21 27 33 42 43 50 53 54 2 6 19 24 26 29 35 38 45 48 53 2 7 16 21 23 35 39 40 46 51 52 2 8 13 26 28 32 36 40 42 49 55 2 9 18 23 25 31 34 36 38 50 56 2 10 15 22 28 31 33 41 45 47 51 2 11 20 25 27 29 30 39 44 47 49 3 4 18 20 21 36 37 45 49 51 53 3 5 15 17 26 31 35 39 43 49 56 3 6 14 20 23 32 33 40 47 48 56 3 7 17 19 28 29 33 36 44 50 52 3 8 14 16 25 29 31 45 46 54 55 3 9 13 19 22 34 39 42 46 47 53 3 10 16 18 27 32 35 38 41 42 44 3 11 13 15 24 30 38 40 50 51 54 4 5 15 16 25 28 34 40 44 48 53 4 6 12 20 28 31 38 39 42 52 54 4 7 14 19 25 26 30 41 42 51 56 4 8 13 17 23 27 39 41 45 48 50 4 9 14 15 24 27 35 36 47 52 55 4 10 12 18 26 29 40 43 46 47 50 4 11 16 19 22 23 33 38 43 49 55 5 6 13 18 24 25 33 41 46 49 52 5 7 12 13 21 38 44 45 47 55 56 5 8 18 19 23 28 30 35 37 47 54 5 9 16 20 22 26 30 32 45 50 52 5 10 17 20 23 24 29 34 42 51 55 5 11 12 19 27 31 32 36 46 48 51 6 7 17 18 22 27 30 31 40 53 55 6 8 12 14 22 34 35 44 49 50 51 6 9 13 16 27 28 29 37 43 51 56 6 10 15 19 21 25 32 37 39 50 55 6 11 16 17 21 26 34 36 41 47 54 7 8 15 20 26 27 33 34 37 38 46 7 9 12 15 23 29 32 41 49 53 54 7 10 13 20 22 25 35 36 43 48 54 7 11 14 18 24 28 32 34 39 43 45 8 9 19 20 21 24 31 40 41 43 44 8 10 12 16 24 30 33 36 39 53 56 8 11 15 18 21 22 29 42 48 52 56 9 10 14 17 21 28 30 38 46 48 49 9 11 12 17 25 33 35 37 40 42 45 10 11 13 14 23 26 31 37 44 52 53
- Solution 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 3 12 21 22 23 24 25 26 27 28 1 4 13 21 29 30 31 32 33 34 35 1 5 14 22 29 36 37 38 39 40 41 1 6 15 23 30 36 42 43 44 45 46 1 7 16 24 31 37 42 47 48 49 50 1 8 17 25 32 38 43 47 51 52 53 1 9 18 26 33 39 44 48 51 54 55 1 10 19 27 34 40 45 49 52 54 56 1 11 20 28 35 41 46 50 53 55 56 2 3 12 34 35 40 41 42 43 48 51 2 4 14 24 26 29 45 46 48 52 53 2 5 13 23 25 29 43 49 50 54 55 2 6 17 21 28 34 37 39 44 50 52 2 7 18 22 28 30 32 40 46 47 54 2 8 15 22 27 31 33 41 44 49 53 2 9 16 21 27 35 36 38 45 47 55 2 10 20 23 24 32 33 38 39 42 56 2 11 19 25 26 30 31 36 37 51 56 3 4 18 20 25 31 38 40 44 45 50 3 5 17 20 26 33 34 36 46 47 49 3 6 14 19 23 31 35 39 47 53 54 3 7 13 19 24 32 36 41 44 52 55 3 8 13 15 21 37 38 46 48 54 56 3 9 14 16 22 30 33 43 50 52 56 3 10 17 18 27 29 30 37 42 53 55 3 11 15 16 28 29 32 39 45 49 51 4 5 13 14 27 28 42 44 47 51 56 4 6 16 20 26 27 32 37 41 43 54 4 7 12 18 21 36 39 43 49 53 56 4 8 16 19 22 25 34 39 42 46 55 4 9 17 19 23 28 30 38 41 48 49 4 10 15 17 22 24 35 36 50 51 54 4 11 12 15 23 33 37 40 47 52 55 5 6 12 17 22 31 32 45 48 55 56 5 7 15 20 25 27 30 35 39 48 52 5 8 18 19 24 28 33 35 37 43 45 5 9 15 19 21 26 32 40 42 50 53 5 10 16 18 21 23 31 41 46 51 52 5 11 12 16 24 30 34 38 44 53 54 6 7 12 19 27 29 33 38 46 50 51 6 8 14 20 21 24 30 40 49 51 55 6 9 15 18 24 25 29 34 41 47 56 6 10 13 16 25 28 33 36 40 48 53 6 11 13 18 22 26 35 38 42 49 52 7 8 16 17 23 26 29 35 40 44 56 7 9 13 20 22 23 34 37 45 51 53 7 10 14 15 26 28 31 34 38 43 55 7 11 14 17 21 25 33 41 42 45 54 8 9 12 20 28 29 31 36 42 52 54 8 10 12 13 26 30 39 41 45 47 50 8 11 14 18 23 27 32 34 36 48 50 9 10 12 14 25 32 35 37 44 46 49 9 11 13 17 24 27 31 39 40 43 46 10 11 19 20 21 22 29 43 44 47 48
- Solution 4
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- Solution 5
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Incidence matrix
This is a representation of the incidence matrix of this block diagram; see this illustration to understand this matrix
- Solution 1
O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . O . . . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . 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- Solution 2
O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O O O O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . O . . . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . 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- Solution 5
O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . O O . . . . . . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . O . . . O . . O . . . O O . . . . . . . . O . . O . . . . . . . O . O . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . O O . . O . . . O . O . . . . . . . O . . . . O . . . . . . . O O . . . . . . . . . . . . . . . . O . O . . . O . . . O . . O O . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . . . O O . . . . . O . O . . O . . . . . . . . . . . . O . O . . O . . O . . . . . O . . . . . . . . O . . . . . . . O . O . . . . . O . O . . O . . . . . . . . . . O . . . . O . . O O . . . . O . . . . . . . . . . O . . . . . . . O O . . . O . . . . O . . O . . . . . . . . . . . O . O . . O . O . . . O . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . O O . . O . . O . . . O O . . O . . . . 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oval
An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here is an example of a maximum order oval for each solution to this block diagram:
- Solution 1
1 12 29 46 49 51
- Solution 2
2 4 14 23 28 29
- Solution 3
1 4 19 37 44 53
- Solution 4
1 3 31 40 44 53
- Solution 5
1 12 24 28 41 50
literature
- Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
- Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .
Individual evidence
- ↑ Petteri Kaski, Patric RJ Östergård: There are exactly five biplanes with k = 11. In: Journal of Combinatorial Designs. Vol. 16, No. 2, 2008, pp. 117-127, doi : 10.1002 / jcd.20145 .
- ^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.