Diskussion:Endliche einfache Gruppe

mit Hilfe von Computer überprüft

Diese Formulierung ist irreführend. Eine Überprüfung mit Hilfe von Computern ERHÖHT die Vertrauenswürdigkeit eines Beweises im Vergleich zu einem Beweis der nur niedergeschrieben wurde, aber nicht von Computern überprüft. Ich weiß leider nicht, was genau von diesem Satz ausgedrückt werden soll. Wurde der Beweis selber von Computern geführt? Welche Rolle hatten Computer nun genau? Nahabedere (Diskussion) 10:30, 11. Jun. 2014 (CEST)

Teile der Beweise sind nur mit Rechnerunterstützung geführt, es fehlt eine menschennachvollziehbare Version. Die computerunterstützte Überprüfung ist nicht eine zusätzliche Überprüfung. Ich habe die Stelle entsprechend umformuliert, so dass das Missverständnis nicht mehr bestehen sollte.--FerdiBf (Diskussion)

Lemma

Sollte man den Artikel nicht einfach nach Endliche einfache Gruppe verschieben? Kein Mensch sucht nach Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation, was sicher nicht der gebräuchlichere Name ist, wie es eigentlich verlangt ist. Stern 15:19, 22. Feb 2004 (CET)

Der Redirect [endliche einfache Gruppe]] ist erstmal Suchbegriff genug. Aber ich denke, die Frage ist damit noch nicht vom Tisch. Dass der Artikel auch die Klassifikation behandelt, kann man wohl erwarten von einem Artikel über einfache Gruppen. Ebenso wie ein Artikel über Raumgruppen und Punktgruppen von Kristallen auch deren Klassifikation behandelt. --SirJective 11:02, 1. Mär 2004 (CET)

Verschoben. --Quartl (Diskussion) 08:58, 22. Sep. 2012 (CEST)

Frage

Folgender Absatz irritiert mich: „Von einigen Autoren wird auch die Gruppe ²F₄(2)' mit 17971200 = 2¹¹·3³·5²·13 Elementen zu den sporadischen Gruppen gezählt, womit sich eine Gesamtzahl von 27 ergibt.“

Nun stellt sich mir die Frage: Es hängt nur von 2 Bedingungen ab, ob eine Gruppe sporadisch ist und die sind beide keine willkürliche Definition, sondern eindeutig und sinnvoll. Wie kann so etwas sein? Allerdings weiß ich über ²F₄(2)' fast nichts und kann diese Frage nicht selbst beantworten. --82.135.72.120 16:41, 29. Sep 2006 (CEST)

Die Gruppe G = ²F₄(2) würde zu der unendlichen Serie ²F₄(2²ⁿ⁺¹) einfacher Gruppen "vom Lie-Typ" gehören, sie ist aber nicht einfach, man muss sie also weglassen (n>0). Dafür ist die Kommutator-Untergruppe [G, G] = ²F₄(2)′, genannt Tits-Gruppe, einfach und auch in keiner anderen Serie enthalten. Manchen zählen sie wegen der engen Verwandtschaft zu der unendlichen Serie ²F₄(2²ⁿ⁺¹) dazu, obwohl sie nur eine Untergruppe ist, andere sehen sie streng als eine der sporadischen Gruppen an. --80.129.80.37 23:07, 23. Jun. 2009 (CEST)

Man gehe von der Familie ²F₄(2²ⁿ⁺¹) zu ²F₄(2²ⁿ⁺¹)' über. Dann hat man eine Familie, der die Tits-Gruppe angehört. Mathematisch findet man die Tits-Gruppe bei der Analyse der Gruppen vom Lie-Typ, dort gehört sie also hin. Ich habe das im Text noch einmal unterstrichen.--FerdiBf (Diskussion)

Ich finde die letzte Überlegung von FerdiBf nicht in Ordnung. Die Familie ²F₄(2²ⁿ⁺¹) ist für n≥0 eine Familie von Gruppen vom Lie-Typ und dazuhin noch einfach für n>0. Die Familie ²F₄(2²ⁿ⁺¹)' ist auch eine Familie von Gruppen vom Lie-Typ für n≥0, aber nicht einfach für n>0, sondern nur für n=0. Man kann somit die Familien ²F₄(2²ⁿ⁺¹) und ²F₄(2²ⁿ⁺¹)' vielleicht als Familien von Gruppen vom Lie-Typ aufmischen, nicht aber als endliche einfache Gruppen. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:40, 13. Nov. 2016 (CET)

Ja, schon gut. Ich hatte auch nicht vor, diese Familie im Artikel als Familie von Kommutatoren darzustellen, das wäre unüblich. Aber beachte bitte ²F₄(2²ⁿ⁺¹)' = ²F₄(2²ⁿ⁺¹) für n>0. Ich wollte nur einen zusätzlichen Grund angeben, warum man die Tits-Gruppe den Gruppen vom Lie-Typ zuschlägt. Es bleibt hoffentlich unstrittig, dass die Tits-Gruppe ihre natürliche Heimat in den Gruppen vom Lie-Typ hat.--FerdiBf (Diskussion)

Lieber @FerdiBf, ich sehe, dass Du Recht hast: Es gilt ²F₄(2²ⁿ⁺¹)' = ²F₄(2²ⁿ⁺¹) für n>0. (Denn eine Kommutatorgruppe ist zugleich Normalteiler.) Also gehört die Tits-Gruppe zu der UNENDLICHEN Familie ²F₄(2²ⁿ⁺¹)' und ist zu Recht NICHT sporadisch. Denn sporadische Gruppen sind dadurch definiert, dass sie endlich und einfach sind und NICHT zu einer unendlichen Familie gehören. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:45, 13. Nov. 2016 (CET)

Definition

Gibt es einen Grund, warum die Definition mit dem Gruppenhomomorphismus hier verwendet wird? Die aequivalente Definition mit den zwei Normalteilern ist doch eher die, die in fast jeder Algebra-Vorlesung verwendet werden wird. Ich glaube ja, dass die Formulierung ueber Homomorphismen, also ueber universelle Eigenschaften dem Kategorientheoretiker besser gefaellt, aber der Mathe-Student, der hier mal nach der Def. von Einfachheit sucht, ist vielleicht irritiert. -- 130.83.2.27 16:30, 27. Aug. 2007 (CEST)

Eine Scherzfrage: Ist jede einfache abelsche Gruppe von Primzahlordnung? Antwort: Nein, weil 1 keine Primzahl ist. --Hanfried.lenz 12:54, 28. Aug. 2007 (CEST).

Die triviale Gruppe ist auch nicht einfach. Die Antwort auf deine "Scherzfrage" ist also ja. --Benji104 12:45, 23. Jun. 2009 (CEST)

Es gibt verschiedene Definitionen (chronologisch):

• Heinrich Weber: Lehrbuch der Algebra. Zweiter Band, Vieweg, 1896, S. 17: [1]
  "Eine endliche Gruppe P heisst einfach, wenn sie ausser sich selbst und der Einheit keinen Normaltheiler hat, zusammengesetzt, wenn noch andere Normaltheiler vorhanden sind."
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I (8. Auflage), Springer, 1971, S. 150:
  "Eine Gruppe G heißt einfach, wenn sie außer sich selbst und der Einheitsgruppe keinen Normalteiler besitzt."
• Hans Kurzweil: Endliche Gruppen, Springer, 1977, S. 10:
  "Eine Gruppe G heißt einfach, falls die trivialen Untergruppen 1 und G die einzigen Normalteiler von G sind."
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Teil 1, Teubner, 1980, S. : [2]
  "Eine Gruppe G mit neutralem Element e heißt einfach, wenn G ≠ {e} ist und G und {e} die einzigen Normalteiler in G sind."
• Bertram Huppert: Endliche Gruppen I (2. Nachdruck), Springer, 1983, S. 12:
  "Hat G nur die Normalteiler E und G, so heißt G einfach."
• Egbert Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie I (Nachdruck), Vieweg, 1985, S. 71:
  "Eine Gruppe G mit {1} und G als einzigen Normalteilern nennt man einfach."
• Vieweg-Mathematik-Lexikon, Vieweg, 1988, Lemma einfach (Gruppe):
  "Eine Gruppe G heißt einfach, wenn sie nicht nur aus dem neutralen Element besteht und keine Normalteiler außer den trivialen Untergruppen {e} und G selbst enthält."
• Gerd Fischer: Ein Jahrhundert Mathematik. 1890–1990, Vieweg, 1990, S. 570: [3]
  "Eine nicht abelsche Gruppe G ohne echte Normalteiler 1 < N < G heißt einfach."
• Serge Lang: Algebra (3rd edition), Addison-Wesley, 1993, S. 20:
  "A group G is said to be simple if it is non-trivial, and has no normal subgroups other than {e} and G itself."
• Michael Aschbacher: Finite group theory (Reprint), Cambridge University Press, 1994, S. 10:
  "A representation of a group G on itself via conjugation (in the category of groups and group homomorphisms) is irreducible if G possesses no nonidentity proper normal subgroups. In this case G is said to be simple."
• Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen, Springer, 1998, S. 11: [4]
  "Ist G≠1, und sind 1 und G die einzigen Normalteiler von G, so heißt G eine einfache Gruppe."
• Michael Artin: Algebra, Birkhäuser, 1998, S. 337: [5]
  "Wir erinnern daran, daß eine Gruppe G einfach heißt, wenn sie nicht die triviale Gruppe ist und wenn sie keine echten Normalteiler hat (Kapitel 6, Paragraph 2)."
• Gernot Stroth: Algebra, de Gruyter, 1998, S. 95: [6]
  "Gruppen G, die nur die Normalteiler 1 und G enthalten, nennt man einfach."
• Guido Mislin: Algebra I, vdf, 1998, S. 8: [7]
  "Eine Gruppe G ≠ {e} heisst einfach, wenn sie keinen nichttrivialen Normalteiler besitzt (die Normalteiler {e} und G nennt man die trivialen Normalteiler von G)."
• Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra, Vieweg, 2003, S. 23: [8]
  "Stets vorhandene Normalteiler sind G selbst und die triviale Untergruppe {E}. Wenn es keine anderen Normalteiler gibt, so heißt die Gruppe einfach."
• Gisbert Wüstholz: Algebra, Vieweg, 2004, S. 35: [9]
  "Eine Gruppe G ≠ {1} heißt einfach, wenn G und {1} ihre einzigen Normalteiler sind."
• Bertram Huppert, Wolfgang Willems: Lineare Algebra, Teubner, 2006, S. 192: [10]
  "Hat eine Gruppe G nur die Normalteiler {1} und G, so heißt G einfach."
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra, Vieweg, 2007, S. 133: [11]
  "Eine Gruppe G heißt einfach, wenn {e} und G die einzigen Normalteiler von G sind."

Nach 10 Definitionen ist die triviale Gruppe einfach, nach 8 Definitionen nicht, wovon eine sogar alle abelschen Gruppen ausschließt. --80.129.80.37 19:13, 23. Jun. 2009 (CEST)

Kann man also in Entsprechung zur Primzahldefinition nicht einfach sagen: "Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler besitzt."? --Stefan Neumeier 12:42, 18. Jan. 2011 (CET)

Das ist äquivalent zu 7 der 18 angegebenen Definitionen. --84.130.191.186 17:52, 18. Dez. 2012 (CET)

Jedenfalls lassen 17 der 18 Quellen abflache Gruppen zu und die einzige abweichende Quelle ist kein Lehrbuch, sondern ein Jubiläumsband (und der Autor kein Gruppentheoretiker). Solange hier keine Belege für die Verwendung der "nichtabelschen Definition" in einem anerkannten Lwhrbuch kommen, bleiben wir besser bei der Definition, welche abelsche Gruppen zulässt. Das ist auch kompatibel mit der weiter unten aufgeführten Klassifikation. --Suhagja (Diskussion) 17:33, 18. Dez. 2012 (CET)

Diese Begründung verstehe ich nicht. Definitionen aus Lehrbüchern sind im Gegenteil eher kritisch zu betrachten, da sie oft eine vereinfachte Version für Anfänger präsentieren, und besonders dann ist die Darstellung der Bandbreite von Definitionen eine sehr nützliche Information. Die Forderung "nicht abelsch" kommt tatsächlich nur selten vor, aber einen Schaden sehe ich in der Erwähnung dennoch nicht. (Übrigens: Der "Autor" ist in diesem Fall einer der Herausgeber, und der Artikel ist durchaus von einem Spezialisten, Gerhard O. Michler, verfasst.) --84.130.191.186 17:52, 18. Dez. 2012 (CET)

P.S.: Die von Gerd Fischer verwendete Definition steht ganz unten. Sollten wir sie streichen, weil er kein ausgewiesener Gruppentheoretiker ist? Meiner Ansicht nach nicht. --84.130.191.186 17:54, 18. Dez. 2012 (CET)

Sorry, aber wenn eine Definition in keinem einzigen der angegebenen Lehrbücher vorkommt, sondern nur in einem Jubiläumsband einer Vwreinigung (in dem es nicht um Gruppentheorie, sondern um die Geschichte der Verwinigung geht) geschrieben von jemandem, der auch selbst nicht auf dem Gebiet arbeitet, dann ist damit doch wohl eindeutig, welches die gängige Definition ist. Und das mit der vereinfachten Lehrbuch-Definition für dieAnfanger ist in diesem Fall doch nun offensichtlich nicht zutreffend.--Suhagja (Diskussion) 20:40, 18. Dez. 2012 (CET)

Und was sagst Du zu meinem Argument, dass "die Darstellung der Bandbreite von Definitionen eine sehr nützliche Information" ist und dass ich keinen Schaden in der Erwähnung sehe? Siehst Du einen Schaden? Was spricht für Deine Ansicht? Dir ist schon klar, dass ich nicht fordere, die "gängige Definition" zu streichen? Michler arbeitet nicht auf dem Gebiet der Gruppentheorie? Ich glaube, Du hast nicht ganz verstanden, was ich geschrieben habe. --84.130.191.186 20:59, 18. Dez. 2012 (CET)

Gut, der Autor ist nicht Fischer, sondern Michler. Das ändert doch jetzt nichts daran, dass es sich nur um einen Jubilaumsband der DMV handelt (20 Jahre alt) und dass man schon noch ein paar mehr Beispiele haben sollte, wenn man in den Artikel schreibt, dass auch noch andere Definitionen verwendet werden.--Suhagja (Diskussion) 21:42, 18. Dez. 2012 (CET)

"here 'simple group' means a noncommutative finite simple group" Es ist manchmal bequemer, sich auf nichtabelsche (d.h. nicht auflösbare) Gruppen zu beschränken. Ich werde aber nicht weiter über Deine Stöckchen springen. Deine Argumente sind im Gegensatz zu meinen irrational und falsch (kommt in keinem Lehrbuch vor, ist Jubiläumsband einer Vereinigung, geht nicht um Gruppentheorie, sondern um Geschichte, ist 20 Jahre alt, hat kein Gruppentheoretiker geschrieben, Strohmann-Argument: nicht die gängige Definition). --84.130.191.186 22:24, 18. Dez. 2012 (CET)

Ich stimme Suhagja zu, eine Alternativdefinition sollte schon halbwegs etabliert sein, um sie im Artikel explizit zu erwähnen. Ansonsten verwirrt man den Leser nur unnötig. Man beachte übrigens auch die Hochkommata. Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:56, 19. Dez. 2012 (CET)

Ich bin absolut anderer Ansicht, und das habe ich auch ausführlich begründet, worauf Du mit keinem Wort eingehst. Welche Verwirrung? Ich halte die Leser nicht für bekloppt. Was meinst Du mit "Man beachte übrigens auch die Hochkommata"? Nein, bitte nicht antworten, ich will es gar nicht wissen, mir reicht diese Falschheit und Irrationalität. Für mich ist hier Ende der Diskussion. Den Artikel werde ich selbstverständlich nicht weiter fördern. --84.130.164.138 16:04, 19. Dez. 2012 (CET)

Die aktuelle Definition ist aus meiner Sicht völlig ok. Als erste wird die Definition mittels Normalteilern genannt, erst dann kommen offensichtlich äquivalente Definitionen. Wahrscheinlich ist diese Diskussion nicht mehr relevant.--FerdiBf (Diskussion)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Diese Diskussion ist wohl nicht mehr relevant. --FerdiBf (Diskussion) 15:10, 13. Nov. 2016 (CET)

Bedeutung

Frage: Wie lassen sich beliebige endliche Gruppen aus einfachen Gruppen konstruieren? Reicht dafür das direkte Produkt? Falls ja, sollte dies auch so dargestellt werden. Falls nein, wären Verweise (Internet oder Literatur) hilfreich. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 217.224.23.234 (Diskussion • Beiträge) 14:18, 29. Jun. 2008)

Nein, das ist erheblich schwieriger. Von großer Bedeutung ist zunächst das allgemeinere semidirekte Produkt, weitere Konstruktionen sind zum Beispiel das direkte Produkt mit vereinigter zentraler Untergruppe, das direkte Produkt mit vereinigter Faktorgruppe und das Kranzprodukt. Auch dann hat man noch nicht alle Möglichkeiten. Als Literatur können alle Lehrbücher über die Theorie endlicher Gruppen dienen. --80.129.86.203 21:49, 12. Jan. 2009 (CET)

Könnten die zyklischen Gruppen als einfachereres Beispiel dienen? Im Artikel steht ja bereits, dass die zyklischen Gruppen mit Primzahlordnung einfach sind. Kann man aus ihnen die zyklischen Gruppen zusammengesetzter Ordnung erhalten in einer Weise, die zur Multiplikation der Ordnungszahl isomorph ist? --Vernanimalcula (Diskussion) 11:26, 1. Apr. 2013 (CEST)

Die Gruppe Z₂ × Z₂ ist nicht isomorph zu Z₄. Verglichen mit dem Fall nichtkommutativer endlicher Gruppen ist die Theorie kommutativer endlicher Gruppen nahezu trivial und mit dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen vollständig aufgeklärt. Der allgemeine Fall, eine Gruppe aus normaler Untergruppe und Faktorgruppe zusammenzusetzen, wird in der sogenannten Erweiterungstheorie behandelt, da fehlt uns bislang ein Lemma Gruppenerweiterung (siehe en:Group extension). --84.130.132.149 10:49, 10. Okt. 2013 (CEST)

Klassifikation

Was bedeutet hier Klassifikation? Ich verstehe, dass man die einfachen endlichen Gruppen in verschiedene Typen einteilt, aber nach welchen Kriterien bzw. mit welchem Ziel? Man könnte sie ja ebensogut in Gruppen mit weniger als 100 Elementen und Gruppen mit mehr als 100 Elementen einteilen. Zack, schon gehört jede Gruppe entweder zum einen oder zum anderen Typ (Ist natürlich ein selten dämliches Beispiel). Warum diese Klassifikation? -- 134.102.123.217 13:33, 9. Jul. 2011 (CEST)

Zu dieser Klassifikation gehört, dass man die endlichen einfachen Gruppen ausdrücklich aufzählen und vollständig angeben kann (Multiplikationstafel). Eine Minimalforderung an eine Klassifikation wäre die Aufzählung sämtlicher Objekte (wohldefinierte injektive Abbildung von einer bekannten Indexmenge, etwa einer bestimmten Teilmenge von N^a oder R^b, auf alle möglichen Objekte, die also zumindest axiomatisch definiert und unterschieden werden müssen). --84.130.188.116 19:03, 14. Jul. 2011 (CEST)

Ich habe die Antwort in den Artikel eingebaut. --FerdiBf (Diskussion)

Gruppenoperationen in der Kategorie der Gruppen

Gruppenoperationen leben doch nicht in der Kategorie der Gruppen. Wofür steht da überhaupt dieser Zusatz „in der Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen“? --Chricho ¹ ² ³ 17:47, 14. Dez. 2012 (CET)

Jede Konjugation ist ein Gruppenautomorphismus, und die Abbildung von Gruppenelementen auf die zugehörigen Konjugationen ein Gruppenhomomorphismus. Der Zusatz ist zur Definition von "irreduzibel" nötig. --84.130.173.71 19:03, 14. Dez. 2012 (CET)

Achso, es soll also hervorheben, dass die Gruppe auf sich selbst als Gruppe operiert, und nicht auf sich selbst als Menge. Hast du eine Quelle zufällig, wo Operationen ohne nichttriviale invariante Unterobjekte als irreduzibel bezeichnet werden? Ich kenne das Wort irreduzibel nur aus der Darstellungstheorie, da kann man schließlich auch mehr damit machen. --Chricho ¹ ² ³ 19:16, 14. Dez. 2012 (CET)

Das ist Darstellungstheorie, allerdings in der genannten Kategorie. Die üblichere lineare Darstellungstheorie ist darin enthalten. Die Definition stammt aus Michael Aschbacher: Finite group theory, Cambridge University Press, 1986, S. 9ff. (Vorschau online leider nur S. 10f.) --84.130.173.71 19:21, 14. Dez. 2012 (CET)

Die Bezeichnungen sind da nicht eindeutig, Darstellungstheorie meint oft ausdrücklich lineare Darstellungstheorie, so wie ich gerade. Danke für die Hinweise! --Chricho ¹ ² ³ 19:55, 14. Dez. 2012 (CET)

Habe umformuliert und passenden Link gesetzt (das wird jedenfalls dem unbedarften Leser mehr helfen als der Link zur Kategorientheorie), erscheint mir so besser nachvollziehbar, aber mecker ruhig, wenn es dir ungünstig erscheint. --Chricho ¹ ² ³ 20:00, 14. Dez. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Diese Diskussion ist nicht mehr relevant. --FerdiBf (Diskussion) 15:10, 13. Nov. 2016 (CET)

Seltsame adhoc-Sprachregelung

Zugegeben, die endlichen unter den einfachen Gruppen sind die wichtigeren. Es gibt aber auch unendliche nicht-auflösbare Gruppen, und man kennt unendliche einfache Gruppen. Wo soll man die unterbringen? Am natürlichsten wäre doch, sie in einen Artikel "Einfache Gruppe" zu tun. Inhaltlich könnte jener Artikel fast exakt mit "Endliche einfache Gruppe" übereinstimmen, und die unendlichen einfachen Gruppen wären Untermieter darin.

Dann könnte man auch die seltsame adhoc-Sprachregelung »Endliche einfache Gruppen, im Folgenden kurz als „einfache Gruppen“ bezeichnet« fallen lassen. Mathematiker machen meines Wissens nie eine Sprachregelung in eine anderweitig festgelegte (und dazuhin nahe benachbarte) Bedeutung hinein. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:41, 7. Nov. 2015 (CET)

Ich habe den Artikel Einfache Gruppe (Mathematik) gefunden. Dort werde ich ein Beispiel einer unendlichen einfachen Gruppe einbringen.

Trotzdem werde ich die seltsame adhoc-Sprachregelung aus Endliche einfache Gruppe rausnehmen. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:25, 10. Nov. 2015 (CET)

Nötige Überarbeitung

Auf der QS-Seite des Mathe-Portals ist dieser Artikel noch unter "Artikel mit sonstigen Mängeln"-"Überarbeiten" gelistet. Meiner Meinung nach ist der Artikel jetzt in Ordnung. Wenn hier keine anderslautenden konstruktiven Gegenmeinungen kommen, dann werde ich den Artikel demnächst aus dieser Liste entfernen.--FerdiBf (Diskussion)

Ich habe den Artikel jetzt aus der Mängelliste entfernt.--FerdiBf (Diskussion) 19:19, 27. Nov. 2016 (CET)

Liste

Sollen wir im Artikel auch eine Liste ausgewählter endlicher einfacher Gruppen mit besonderen Eigenschaften (z. B. mit genau 3-4 verschiedenen Primteilern in ihrer Ordnung) einbauen? --92.216.164.225 21:31, 18. Nov. 2018 (CET)