(41,16,6) block plan
The (41,16,6) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 41 × 41 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 16 ones and any two rows have exactly 6 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 41, k = 16, λ = 6) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .
properties
This symmetrical block diagram has the parameters v = 41, k = 16, λ = 6 and thus the following properties:
- It consists of 41 blocks and 41 points.
- Each block contains exactly 16 points.
- Every 2 blocks intersect in exactly 6 points.
- Each point lies on exactly 16 blocks.
- Each 2 points are connected by exactly 6 blocks.
Existence and characterization
There are at least 115307 non-isomorphic 2- (41,16,6) block plans. Two of these solutions are:
- Solution 1 ( dual to solution 2) with the signature 15 x 27, 15 x 33, 5 x 36, 5 x 39, 1 x 45. It contains 235 ovals of the 3rd order.
- Solution 2 ( dual to solution 1) with the signature 20 x 3, 1 x 30, 5 x 33, 15 x 34. It contains 160 ovals of the 3rd order.
List of blocks
All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list
- Solution 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 4 6 7 13 15 16 21 27 28 29 30 31 32 36 38 41 5 7 8 11 14 17 22 26 28 29 30 32 33 37 39 41 1 8 9 12 15 18 23 26 27 29 30 33 34 38 40 41 2 9 10 11 13 19 24 26 27 28 30 34 35 36 39 41 3 6 10 12 14 20 25 26 27 28 29 31 35 37 40 41 3 5 9 11 12 17 18 19 20 21 26 31 32 36 38 41 1 4 10 12 13 16 18 19 20 22 27 32 33 37 39 41 2 5 6 13 14 16 17 19 20 23 28 33 34 38 40 41 1 3 7 14 15 16 17 18 20 24 29 34 35 36 39 41 2 4 8 11 15 16 17 18 19 25 30 31 35 37 40 41 1 2 8 10 14 16 22 23 24 25 26 31 32 36 38 41 2 3 6 9 15 17 21 23 24 25 27 32 33 37 39 41 3 4 7 10 11 18 21 22 24 25 28 33 34 38 40 41 4 5 6 8 12 19 21 22 23 25 29 34 35 36 39 41 1 5 7 9 13 20 21 22 23 24 30 31 35 37 40 41 6 7 9 13 14 15 18 19 22 25 26 31 32 34 39 40 7 8 10 11 14 15 19 20 21 23 27 32 33 35 36 40 6 8 9 11 12 15 16 20 22 24 28 31 33 34 36 37 7 9 10 11 12 13 16 17 23 25 29 32 34 35 37 38 6 8 10 12 13 14 17 18 21 24 30 31 33 35 38 39 3 4 5 11 12 14 16 23 24 27 30 31 32 34 39 40 1 4 5 12 13 15 17 24 25 26 28 32 33 35 36 40 1 2 5 11 13 14 18 21 25 27 29 31 33 34 36 37 1 2 3 12 14 15 19 21 22 28 30 32 34 35 37 38 2 3 4 11 13 15 20 22 23 26 29 31 33 35 38 39 1 2 4 8 9 10 17 20 21 28 29 31 32 34 39 40 2 3 5 6 9 10 16 18 22 29 30 32 33 35 36 40 1 3 4 6 7 10 17 19 23 26 30 31 33 34 36 37 2 4 5 6 7 8 18 20 24 26 27 32 34 35 37 38 1 3 5 7 8 9 16 19 25 27 28 31 33 35 38 39 1 3 6 8 11 13 18 19 20 23 24 25 28 29 30 32 2 4 7 9 12 14 16 19 20 21 24 25 26 29 30 33 3 5 8 10 13 15 16 17 20 21 22 25 26 27 30 34 1 4 6 9 11 14 16 17 18 21 22 23 26 27 28 35 2 5 7 10 12 15 17 18 19 22 23 24 27 28 29 31 1 2 6 7 11 12 17 20 22 25 27 30 36 38 39 40 2 3 7 8 12 13 16 18 21 23 26 28 36 37 39 40 3 4 8 9 13 14 17 19 22 24 27 29 36 37 38 40 4 5 9 10 14 15 18 20 23 25 28 30 36 37 38 39 1 5 6 10 11 15 16 19 21 24 26 29 37 38 39 40
- Solution 2
1 4 8 10 12 16 23 24 25 27 29 31 32 35 37 41 1 5 9 11 12 13 24 25 26 27 28 30 33 36 37 38 1 6 7 10 13 14 22 25 26 28 29 31 32 34 38 39 1 2 8 11 14 15 22 23 26 27 29 30 33 35 39 40 1 3 7 9 15 16 22 23 24 28 30 31 34 36 40 41 1 2 6 9 13 15 17 19 21 28 29 30 32 35 37 41 1 2 3 10 14 16 17 18 20 29 30 31 33 36 37 38 1 3 4 11 12 15 18 19 21 27 30 31 32 34 38 39 1 4 5 7 13 16 17 19 20 27 28 31 33 35 39 40 1 5 6 8 12 14 18 20 21 27 28 29 34 36 40 41 1 3 5 7 11 14 18 19 20 22 24 26 32 35 37 41 1 4 6 7 8 15 19 20 21 22 23 25 33 36 37 38 1 2 5 8 9 16 17 20 21 23 24 26 32 34 38 39 1 3 6 9 10 12 17 18 21 22 24 25 33 35 39 40 1 2 4 10 11 13 17 18 19 23 25 26 34 36 40 41 2 8 9 10 11 12 19 20 22 28 31 33 34 35 38 41 3 7 9 10 11 13 20 21 23 27 29 34 35 36 37 39 4 7 8 10 11 14 17 21 24 28 30 32 35 36 38 40 5 7 8 9 11 15 17 18 25 29 31 32 33 36 39 41 6 7 8 9 10 16 18 19 26 27 30 32 33 34 37 40 2 7 13 14 15 16 18 21 24 25 27 33 34 35 38 41 3 8 12 14 15 16 17 19 25 26 28 34 35 36 37 39 4 9 12 13 15 16 18 20 22 26 29 32 35 36 38 40 5 10 12 13 14 16 19 21 22 23 30 32 33 36 39 41 6 11 12 13 14 15 17 20 23 24 31 32 33 34 37 40 3 4 5 6 7 12 17 23 26 29 30 33 34 35 38 41 2 4 5 6 8 13 18 22 24 30 31 34 35 36 37 39 2 3 5 6 9 14 19 23 25 27 31 32 35 36 38 40 2 3 4 6 10 15 20 24 26 27 28 32 33 36 39 41 2 3 4 5 11 16 21 22 25 28 29 32 33 34 37 40 2 6 7 11 12 16 17 19 21 22 24 26 27 29 31 36 2 3 7 8 12 13 17 18 20 22 23 25 27 28 30 32 3 4 8 9 13 14 18 19 21 23 24 26 28 29 31 33 4 5 9 10 14 15 17 19 20 22 24 25 27 29 30 34 5 6 10 11 15 16 18 20 21 23 25 26 28 30 31 35 2 5 7 10 12 15 18 19 23 24 28 29 37 38 39 40 3 6 8 11 13 16 19 20 24 25 29 30 38 39 40 41 2 4 7 9 12 14 20 21 25 26 30 31 37 39 40 41 3 5 8 10 13 15 17 21 22 26 27 31 37 38 40 41 4 6 9 11 14 16 17 18 22 23 27 28 37 38 39 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Incidence matrix
This is a representation of the incidence matrix of this block diagram; see this illustration to understand this matrix
- Solution 1
O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . O O . . . . . O . O O . . . . O . . . . . O O O O O O . . . O . O . . O . . . . O . O O . . O . . O . . O . . . . O . . . O . O O O . O O . . . O . O . O O . . . . . . O O . . O . . O . . O . . . . O . . O O . O O . . O O . . . O . O O . O . . . . . . O O O . O . . . . . O . . . . O . O O O . O . . . O O O . . O . O . . O . . O . . . O . O . O . . . . . O . . . . O O O O O . O . . . O . O . . O O . . O . O . . . O . O O . . . . O O O O O . . . . O . . . . O O . . . O . O . . O O . . O . . . . . O . O O . . O . O O O . O . . . . O . . . . O O . . . O . O . O . O . . O O . . . . . . O O . O O . O O . . O . . . . O . . . . O O . . . O . O O O . O . . . O . . . . . . O O O O O . O . . . O . . . . O . . . . O O O . . O . O . O . O . . . O . . O . . . O O O O O . . . . . O . . . . O O . . . O . O . . O O O O . . . . . O . O . . . O . O . . . . . O O O O O . . . . O O . . . O . O . . O . O O . . O . . O . . . . . O . O . . . O . O O O . O . . . . O O . . . O . O . O . . O O . . O . . O O . . . . . . O . . O O . O O . . O . . . . O O . . . O . O O . . . O O O . O . . . O . . . . . . O . O O O . O . . . O . . . . O O O . . O . O O . . . O . O . O . . . O . . . . . . O O O O O . . . . . O O . . . O . O . . O O . . . . . O O . O . . . O O O . . O O . . O . . O O . . . . O O . O . . . . O O . . . . . . . O O . O O . . O O . . . O O O . O . . . O . . . . O O . O O . . . O . . . . . . O . O O . O O . . O O . . . O . O . O . . . O . . O . O O . O O . . . . . . . . . . O . O O O O O . . O O . . . . . O . O . . . O . . O . O O . O O . . . . . . . . O . O . O . O O O . . O O . . O . . O . . . . . O O . O . O . . O O . . . . O O O . . . . . O O . O . O . . . . . . O O . . O . . O O O . O . . . . O O . O . . O O . . . . . . O O . O . O . . . . . . O O O . O . . . O O . O O . . . O . O O . . O . . . . . O . O O . . . O . . O . . . O . O . O . O . O O . O O . . . . O O O . . . . . . . . O . O O . . . O . O O . . . . . O . O . O . O O . O O . . . . O O O . . . . . . O . O . O . . . . O . O O . . O . . O . O . O . O . . O O . . O O . O . . . O O O . . . . . . O . . O O . . . . . . O O . O O . O . . . . O O . . O O . O O . . O O . . . . . O . O . . . O . . . . . . O O . O O . O O . . . O . O . O O . O O . . O . . . . . . O . O . . . O . . O . . . O O . O O . O O . . . . . O . O O O O O . . . . . . . . . O . O . . . O . O O . . . . O . O O . O O . . . O . O . O . O O O . . . . . . O . . O . . . . . O . O O . . O . O . O . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . O O O . . O O O . . O O O . O . . . . . . . . . . O . O . . O . O . . O . O . O . . O O O . . O O O . . O O . . O . . . . . . . . . . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . . O . . . O . . . . . . . O . . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . . . . . . O . . . . . . . O . . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . O . . . . . . . . . . O O . . . O O . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . . O . . . . . O . O O O . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . . . O O . O O . . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . . O O O . O . . . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . O O O O . . O . . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . . . . . . . O O O O .
- Solution 2
O . . O . . . O . O . O . . . O . . . . . . O O O . O . O . O O . . O . O . . . O O . . . O . . . O . O O O . . . . . . . . . . O O O O O . O . . O . . O O O . . . O . . . . O O . . O . . O O . . . . . . . O . . O O . O O . O O . O . . . O O . . O O . . . . . O . . O . . O O . . . . . . O O . . O O . O O . . O . O . . . O O . O . O . . . O . O . . . . . O O . . . . . O O O . . . O . O O . . O . O . . . O O O O . . . O . . O . . . O . O . O . O . O . . . . . . O O O . O . . O . O . . . O O O O . . . . . . O . . . O . O O O . O . . . . . . . . O O O . O . . O O O . . . O . O O . . . . . . O O . . O . . O O . O . . . . . O . . O O O . O . . . O O . . O . . O O . O . . . . . O . . O O . O O . . . . . . O O . . O . O . O . . . O O . O . . . O O . O . . . O . O . . . O . O O . . . . . O O O . . . . O . O . . . O O O . O . O . O . . . O . . O . . . O O O . O . O . O . . . . . O . . O . O . . . O O . . O . O O O . . . . . . O . . . O O O O O . O . . . . . . . O . . O O O . . . O O . . O . . O O . . . . . . O O . . O O . O O . O . . . . . O . O . . . O O . . O . O . . O . . O O . O . . . . O O . . O O . O O . . . . . . . O . O . . . O O . O O . O . . . . . O O . O . . . O O O . . . O . O O . . . . . . . O . O . . . O O . O . . . . . O O O O O . . . . . . O O . O . . . . . O . . O . O O O . . O . . O . . O . . . O . O O O . O . . . . . . O O . O . . . O . O . . . . O O O O . O . . . . . O . . O O . O O . . O . . O . . . O . . O . . . O . O . O . . O O . O . O . . . . . O . O O O . O . . . O . O O . . . . . . O . . . O . O O O . . O . . O . O . . . . . O O O O O . . . . . O . O O . . . . . . O O . . O . O O O . . O . . O . . O . . . . O . . . . . O O O O . O . . O . . O O . O . . . . . O O O . . O . . O . . O . . . . O . . . O . O O O O . O . . . . . O O . O . . . . . O O O O . O . . . . . O . . . . O . . O O . O O . O . O . O . . . O . . O . . O . . O O . O . O . . . . . O . . . . O . O O O . O . . O . O O O . . . . . . O . O O . . O . . O . O . . . . . O . . . . O O O O O . O . . O . . O O . . . . . . O O O O . . O . . O . . . O O O O O . . . . O . . . . O . . . . . O . . O . . O O . . O O O . . O . . O . O . O O O . O . . . . O . . . . O . . . O . O . . . . . O O . . O O O O . O . . . O O . O O . . O . . . . O . . . . O . . . O . O . O . . . O O . . O O . O . O . . O O O . O . . . O . . . . O . . . . O . . . O . O O O . . . O O . . O . . O . O . O O O O . . . . . O . . . . O . . . . O O . . O . . O O . . O O O . . O . . O . . O . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O . . . . O . . . . . . O O . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O . . . . . . . . . . . O O . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O . . . . . . . . . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O O . . . O . . . . . . . . . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O O . . . O . . . . . . . O . . O . O . . O . O . . O . . O O . . . O O . . . O O . . . . . . . O O O O . . . O . . O . O . . O . O . . O . . O O . . . O O . . . O O . . . . . . . O O O O . O . O . . O . O . . O . O . . . . . O O . . . O O . . . O O . . . . . O . O O O . . O . O . . O . O . . O . O . O . . . O O . . . O O . . . O . . . . . O O . O O . . . O . O . . O . O . . O . O O O . . . O O . . . O O . . . . . . . . O O O . O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
oval
An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here is an example of a maximum order oval for each solution to this block diagram:
- Solution 1
1 3 40
- Solution 2
1 32 33
literature
- Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
- Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .
Individual evidence
- ↑ Tran van Trung : The existence of symmetric block designs with parameters (41,16,6) and (66,26,10). In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Vol. 33, No. 2, 1982, pp. 201-204, doi : 10.1016 / 0097-3165 (82) 90008-5 .
- ^ Rudolf Mathon, Alexander Rosa : 2- (ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn , Jeffrey H. Dinitz (Eds.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd edition. Chapman and Hall / CRC, Boca Raton FL et al. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1 , pp. 25-57.