(61,16,4) block plan
The (61,14,4) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 61 × 61 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 14 ones and any two rows have exactly 4 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 61, k = 14, λ = 4) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .
properties
This symmetrical block diagram has the parameters v = 61, k = 16, λ = 4 and thus the following properties:
- It consists of 61 blocks and 61 points.
- Each block contains exactly 16 points.
- Every 2 blocks intersect in exactly 4 points.
- Each point lies on exactly 16 blocks.
- Each 2 points are connected by exactly 4 blocks.
Existence and characterization
There are at least six non-isomorphic 2- (61,16,4) block plans. Five of these solutions are:
- Solution 1 with the signature 45 x 1, 15 x 5/18, 1 x 20. It contains 54 ovals of the 5th order.
- Solution 2 ( dual to solution 3) with the signature 45 x 1, 10 x 5/18, 5 x 5/54, 1 x 20. It contains 54 ovals of the 5th order.
- Solution 3 ( dual to solution 2) with the signature 45 x 1, 15 x 5/30, 1 x 20. It contains 54 ovals of the 5th order.
- Solution 4 ( dual to solution 5) with the signature 45 · 4, 16 · 5. It contains 54 ovals of the 5th order.
- Solution 5 ( dual to solution 4) with the signature 60 · 1, 1 · 20. It contains 54 ovals of the 5th order.
List of blocks
All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list
- Solution 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 17 21 24 26 32 36 39 41 47 51 54 56 1 2 3 4 18 22 25 27 33 37 40 42 48 52 55 57 1 2 3 4 19 20 23 28 34 35 38 43 49 50 53 58 1 5 6 7 20 24 27 29 35 39 42 44 50 54 57 59 1 5 6 7 21 25 28 30 36 40 43 45 51 55 58 60 1 5 6 7 22 23 26 31 37 38 41 46 52 53 56 61 1 8 9 10 17 23 27 30 32 38 42 45 47 53 57 60 1 8 9 10 18 24 28 31 33 39 43 46 48 54 58 61 1 8 9 10 19 25 26 29 34 40 41 44 49 55 56 59 1 11 12 13 18 20 26 30 33 35 41 45 48 50 56 60 1 11 12 13 19 21 27 31 34 36 42 46 49 51 57 61 1 11 12 13 17 22 28 29 32 37 43 44 47 52 58 59 1 14 15 16 18 21 23 29 33 36 38 44 48 51 53 59 1 14 15 16 19 22 24 30 34 37 39 45 49 52 54 60 1 14 15 16 17 20 25 31 32 35 40 46 47 50 55 61 2 6 9 11 17 20 24 25 30 31 33 34 36 37 53 59 3 7 10 12 18 21 23 25 29 31 32 34 35 37 54 60 4 5 8 13 19 22 23 24 29 30 32 33 35 36 55 61 5 9 12 14 18 19 20 23 27 28 36 37 39 40 47 56 6 10 13 15 17 19 21 24 26 28 35 37 38 40 48 57 7 8 11 16 17 18 22 25 26 27 35 36 38 39 49 58 2 8 12 15 21 22 23 26 30 31 39 40 42 43 50 59 3 9 13 16 20 22 24 27 29 31 38 40 41 43 51 60 4 10 11 14 20 21 25 28 29 30 38 39 41 42 52 61 3 5 11 15 18 19 24 25 26 29 42 43 45 46 47 53 4 6 12 16 17 19 23 25 27 30 41 43 44 46 48 54 2 7 13 14 17 18 23 24 28 31 41 42 44 45 49 55 3 6 8 14 17 21 22 27 28 29 33 34 45 46 50 56 4 7 9 15 18 20 22 26 28 30 32 34 44 46 51 57 2 5 10 16 19 20 21 26 27 31 32 33 44 45 52 58 2 6 9 11 23 29 32 35 39 40 45 46 48 49 51 52 3 7 10 12 24 30 33 36 38 40 44 46 47 49 50 52 4 5 8 13 25 31 34 37 38 39 44 45 47 48 50 51 5 9 12 14 17 26 33 34 35 38 42 43 51 52 54 55 6 10 13 15 18 27 32 34 36 39 41 43 50 52 53 55 7 8 11 16 19 28 32 33 37 40 41 42 50 51 53 54 2 8 12 15 20 29 36 37 38 41 45 46 54 55 57 58 3 9 13 16 21 30 35 37 39 42 44 46 53 55 56 58 4 10 11 14 22 31 35 36 40 43 44 45 53 54 56 57 3 5 11 15 17 23 33 34 39 40 41 44 57 58 60 61 4 6 12 16 18 24 32 34 38 40 42 45 56 58 59 61 2 7 13 14 19 25 32 33 38 39 43 46 56 57 59 60 3 6 8 14 20 26 32 36 37 42 43 44 48 49 60 61 4 7 9 15 21 27 33 35 37 41 43 45 47 49 59 61 2 5 10 16 22 28 34 35 36 41 42 46 47 48 59 60 2 6 9 11 18 19 21 22 38 44 47 50 54 55 60 61 3 7 10 12 17 19 20 22 39 45 48 51 53 55 59 61 4 5 8 13 17 18 20 21 40 46 49 52 53 54 59 60 5 9 12 14 21 22 24 25 32 41 48 49 50 53 57 58 6 10 13 15 20 22 23 25 33 42 47 49 51 54 56 58 7 8 11 16 20 21 23 24 34 43 47 48 52 55 56 57 2 8 12 15 24 25 27 28 35 44 51 52 53 56 60 61 3 9 13 16 23 25 26 28 36 45 50 52 54 57 59 61 4 10 11 14 23 24 26 27 37 46 50 51 55 58 59 60 3 5 11 15 27 28 30 31 32 38 48 49 54 55 56 59 4 6 12 16 26 28 29 31 33 39 47 49 53 55 57 60 2 7 13 14 26 27 29 30 34 40 47 48 53 54 58 61 3 6 8 14 18 19 30 31 35 41 47 51 52 57 58 59 4 7 9 15 17 19 29 31 36 42 48 50 52 56 58 60 2 5 10 16 17 18 29 30 37 43 49 50 51 56 57 61
- Solution 2
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- Solution 3
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- Solution 5
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Incidence matrix
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- Solution 1
O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O . . . . . O O . . O . . . . O O . . . . . . O O O . . . . . . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . O . . . O . . O . O . . . . . . 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oval
An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here is an example of a maximum order oval for each solution to this block diagram:
- Solution 1
17 20 23 26 29
- Solution 2
17 18 19 20 21
- Solution 3
17 18 19 20 21
- Solution 4
2 3 20 49 51
- Solution 5
17 18 19 20 21
literature
- Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
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Individual evidence
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