(79,27,9) block plan
The (79,27,9) block diagram is a special symmetrical block diagram . In order to be able to construct it, this combinatorial problem had to be solved: an empty 79 × 79 matrix was filled with ones in such a way that each row of the matrix contains exactly 27 ones and any two rows have exactly 9 ones in the same column (not more and not less). That sounds relatively simple, but it is not trivial to solve. There are only certain combinations of parameters (like here v = 79, k = 27, λ = 9) for which such a construction is feasible. The smallest of these (v, k, λ) are listed in this overview .
properties
This symmetrical block diagram has the parameters v = 79, k = 27, λ = 9 and thus the following properties:
- It consists of 79 blocks and 79 points.
- Each block contains exactly 27 points.
- Every 2 blocks intersect in exactly 9 points.
- Each point lies on exactly 27 blocks.
- Each 2 points are connected by exactly 9 blocks.
Existence and characterization
There are at least 1463 non-isomorphic 2- (79,27,9) block plans. Eight of these solutions are:
- Solution 1 ( dual to solution 2) with the signature 13 · 4, 39 · 6, 13 · 9, 13 · 12, 1 · 78. It contains 689 ovals of the 3rd order.
- Solution 2 ( dual to solution 1) with the signature 13 · 12, 13 · 15, 13 · 21, 39 · 24, 1 · 312. It contains 13 ovals of the 4th order.
- Solution 3 ( dual to solution 4) with the signature 26 3, 13 4, 13 9, 1 13, 26 18. It contains 390 ovals of the 3rd order.
- Solution 4 ( dual to solution 3) with the signature 52 · 27, 26 · 45, 1 · 546. It contains 13 ovals of the 4th order.
- Solution 5 ( dual to solution 6) with the signature 13 · 4, 65 · 9, 1 · 13. It contains 468 3rd order ovals .
- Solution 6 ( dual to solution 5) with the signature 26 · 51, 26 · 69, 26 · 162, 1 · 572. It contains 39 ovals of the 4th order.
- Solution 7 ( dual to solution 8) with the signature 52 · 9, 26 · 20, 1 · 312. It contains 13 ovals of the 4th order.
- Solution 8 ( dual to solution 7) with the signature 52 x 9, 26 x 32, 1 x 312. It contains 13 ovals of the 4th order.
List of blocks
All the blocks of this block plan are listed here; See this illustration to understand this list
- Solution 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 2 3 5 11 15 16 18 24 29 30 31 33 34 37 42 43 44 46 47 50 55 57 63 71 77 79 1 3 4 6 12 16 17 19 25 30 31 32 34 35 38 43 44 45 47 48 51 56 58 64 67 72 78 1 4 5 7 13 17 18 20 26 31 32 33 35 36 39 44 45 46 48 49 52 57 59 65 68 73 79 1 5 6 8 14 18 19 21 27 32 33 34 36 37 40 45 46 47 49 50 53 58 60 66 67 69 74 1 2 6 7 9 15 19 20 22 28 33 34 35 37 38 41 46 47 48 50 51 54 59 61 68 70 75 1 3 7 8 10 16 20 21 23 29 34 35 36 38 39 42 47 48 49 51 52 55 60 62 69 71 76 1 4 8 9 11 17 21 22 24 30 35 36 37 39 40 43 48 49 50 52 53 56 61 63 70 72 77 1 5 9 10 12 18 22 23 25 28 31 36 37 38 40 41 44 49 50 51 53 57 62 64 71 73 78 1 6 10 11 13 19 23 24 26 28 29 32 37 38 39 41 42 45 50 51 52 58 63 65 72 74 79 1 7 11 12 14 20 24 25 27 29 30 33 38 39 40 42 43 46 51 52 53 59 64 66 67 73 75 1 2 8 12 13 15 21 25 26 28 30 31 34 39 40 41 43 44 47 52 53 54 60 65 68 74 76 1 3 9 13 14 16 22 26 27 28 29 31 32 35 40 41 42 44 45 48 53 55 61 66 69 75 77 1 2 4 10 14 15 17 23 27 28 29 30 32 33 36 41 42 43 45 46 49 54 56 62 70 76 78 1 2 3 5 11 15 16 18 24 32 38 40 45 51 53 56 59 60 61 62 65 68 69 70 72 73 76 1 3 4 6 12 16 17 19 25 28 33 39 41 46 52 57 60 61 62 63 66 69 70 71 73 74 77 1 4 5 7 13 17 18 20 26 29 34 40 42 47 53 54 58 61 62 63 64 70 71 72 74 75 78 1 5 6 8 14 18 19 21 27 28 30 35 41 43 48 55 59 62 63 64 65 71 72 73 75 76 79 1 2 6 7 9 15 19 20 22 29 31 36 42 44 49 56 60 63 64 65 66 67 72 73 74 76 77 1 3 7 8 10 16 20 21 23 30 32 37 43 45 50 54 57 61 64 65 66 68 73 74 75 77 78 1 4 8 9 11 17 21 22 24 31 33 38 44 46 51 54 55 58 62 65 66 69 74 75 76 78 79 1 5 9 10 12 18 22 23 25 32 34 39 45 47 52 54 55 56 59 63 66 67 70 75 76 77 79 1 6 10 11 13 19 23 24 26 33 35 40 46 48 53 54 55 56 57 60 64 67 68 71 76 77 78 1 7 11 12 14 20 24 25 27 28 34 36 41 47 49 55 56 57 58 61 65 68 69 72 77 78 79 1 2 8 12 13 15 21 25 26 29 35 37 42 48 50 56 57 58 59 62 66 67 69 70 73 78 79 1 3 9 13 14 16 22 26 27 30 36 38 43 49 51 54 57 58 59 60 63 67 68 70 71 74 79 1 2 4 10 14 15 17 23 27 31 37 39 44 50 52 55 58 59 60 61 64 67 68 69 71 72 75 4 7 8 9 10 13 19 25 27 29 30 31 33 34 37 45 51 53 56 59 60 61 62 65 71 77 79 5 8 9 10 11 14 15 20 26 30 31 32 34 35 38 41 46 52 57 60 61 62 63 66 67 72 78 2 6 9 10 11 12 16 21 27 31 32 33 35 36 39 42 47 53 54 58 61 62 63 64 68 73 79 3 7 10 11 12 13 15 17 22 32 33 34 36 37 40 41 43 48 55 59 62 63 64 65 67 69 74 4 8 11 12 13 14 16 18 23 28 33 34 35 37 38 42 44 49 56 60 63 64 65 66 68 70 75 2 5 9 12 13 14 17 19 24 29 34 35 36 38 39 43 45 50 54 57 61 64 65 66 69 71 76 2 3 6 10 13 14 18 20 25 30 35 36 37 39 40 44 46 51 54 55 58 62 65 66 70 72 77 2 3 4 7 11 14 19 21 26 28 31 36 37 38 40 45 47 52 54 55 56 59 63 66 71 73 78 2 3 4 5 8 12 20 22 27 28 29 32 37 38 39 46 48 53 54 55 56 57 60 64 72 74 79 3 4 5 6 9 13 15 21 23 29 30 33 38 39 40 41 47 49 55 56 57 58 61 65 67 73 75 4 5 6 7 10 14 16 22 24 28 30 31 34 39 40 42 48 50 56 57 58 59 62 66 68 74 76 2 5 6 7 8 11 17 23 25 28 29 31 32 35 40 43 49 51 54 57 58 59 60 63 69 75 77 3 6 7 8 9 12 18 24 26 28 29 30 32 33 36 44 50 52 55 58 59 60 61 64 70 76 78 4 7 8 9 10 13 19 25 27 32 38 40 42 43 44 46 47 50 55 57 63 68 69 70 72 73 76 5 8 9 10 11 14 15 20 26 28 33 39 43 44 45 47 48 51 56 58 64 69 70 71 73 74 77 2 6 9 10 11 12 16 21 27 29 34 40 44 45 46 48 49 52 57 59 65 70 71 72 74 75 78 3 7 10 11 12 13 15 17 22 28 30 35 45 46 47 49 50 53 58 60 66 71 72 73 75 76 79 4 8 11 12 13 14 16 18 23 29 31 36 41 46 47 48 50 51 54 59 61 67 72 73 74 76 77 2 5 9 12 13 14 17 19 24 30 32 37 42 47 48 49 51 52 55 60 62 68 73 74 75 77 78 2 3 6 10 13 14 18 20 25 31 33 38 43 48 49 50 52 53 56 61 63 69 74 75 76 78 79 2 3 4 7 11 14 19 21 26 32 34 39 41 44 49 50 51 53 57 62 64 67 70 75 76 77 79 2 3 4 5 8 12 20 22 27 33 35 40 41 42 45 50 51 52 58 63 65 67 68 71 76 77 78 3 4 5 6 9 13 15 21 23 28 34 36 42 43 46 51 52 53 59 64 66 68 69 72 77 78 79 4 5 6 7 10 14 16 22 24 29 35 37 41 43 44 47 52 53 54 60 65 67 69 70 73 78 79 2 5 6 7 8 11 17 23 25 30 36 38 41 42 44 45 48 53 55 61 66 67 68 70 71 74 79 3 6 7 8 9 12 18 24 26 31 37 39 41 42 43 45 46 49 54 56 62 67 68 69 71 72 75 6 12 14 17 20 21 22 23 26 29 30 31 33 34 37 45 51 53 55 57 63 68 69 70 72 73 76 2 7 13 18 21 22 23 24 27 30 31 32 34 35 38 41 46 52 56 58 64 69 70 71 73 74 77 3 8 14 15 19 22 23 24 25 31 32 33 35 36 39 42 47 53 57 59 65 70 71 72 74 75 78 2 4 9 16 20 23 24 25 26 32 33 34 36 37 40 41 43 48 58 60 66 71 72 73 75 76 79 3 5 10 17 21 24 25 26 27 28 33 34 35 37 38 42 44 49 54 59 61 67 72 73 74 76 77 4 6 11 15 18 22 25 26 27 29 34 35 36 38 39 43 45 50 55 60 62 68 73 74 75 77 78 5 7 12 15 16 19 23 26 27 30 35 36 37 39 40 44 46 51 56 61 63 69 74 75 76 78 79 6 8 13 15 16 17 20 24 27 28 31 36 37 38 40 45 47 52 57 62 64 67 70 75 76 77 79 7 9 14 15 16 17 18 21 25 28 29 32 37 38 39 46 48 53 58 63 65 67 68 71 76 77 78 2 8 10 16 17 18 19 22 26 29 30 33 38 39 40 41 47 49 59 64 66 68 69 72 77 78 79 3 9 11 17 18 19 20 23 27 28 30 31 34 39 40 42 48 50 54 60 65 67 69 70 73 78 79 4 10 12 15 18 19 20 21 24 28 29 31 32 35 40 43 49 51 55 61 66 67 68 70 71 74 79 5 11 13 16 19 20 21 22 25 28 29 30 32 33 36 44 50 52 54 56 62 67 68 69 71 72 75 3 5 11 19 22 23 25 26 27 29 31 37 43 46 47 48 49 52 58 61 62 64 65 66 68 70 76 4 6 12 15 20 23 24 26 27 30 32 38 44 47 48 49 50 53 54 59 62 63 65 66 69 71 77 5 7 13 15 16 21 24 25 27 31 33 39 41 45 48 49 50 51 54 55 60 63 64 66 70 72 78 6 8 14 15 16 17 22 25 26 32 34 40 42 46 49 50 51 52 54 55 56 61 64 65 71 73 79 2 7 9 16 17 18 23 26 27 28 33 35 43 47 50 51 52 53 55 56 57 62 65 66 67 72 74 3 8 10 15 17 18 19 24 27 29 34 36 41 44 48 51 52 53 54 56 57 58 63 66 68 73 75 4 9 11 15 16 18 19 20 25 30 35 37 41 42 45 49 52 53 54 55 57 58 59 64 69 74 76 5 10 12 16 17 19 20 21 26 31 36 38 41 42 43 46 50 53 55 56 58 59 60 65 70 75 77 6 11 13 17 18 20 21 22 27 32 37 39 41 42 43 44 47 51 56 57 59 60 61 66 71 76 78 7 12 14 15 18 19 21 22 23 33 38 40 42 43 44 45 48 52 54 57 58 60 61 62 72 77 79 2 8 13 16 19 20 22 23 24 28 34 39 43 44 45 46 49 53 55 58 59 61 62 63 67 73 78 3 9 14 17 20 21 23 24 25 29 35 40 41 44 45 46 47 50 56 59 60 62 63 64 68 74 79 2 4 10 18 21 22 24 25 26 28 30 36 42 45 46 47 48 51 57 60 61 63 64 65 67 69 75
- Solution 2
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75 77 79 1 5 11 13 14 18 24 26 27 29 32 33 42 45 46 54 56 57 62 63 65 67 69 70 75 76 78 6 9 10 12 13 14 16 18 24 30 32 33 34 38 40 48 49 52 56 58 59 60 64 66 74 75 78 2 7 10 11 13 14 17 19 25 28 31 33 34 35 39 49 50 53 54 57 59 60 61 65 75 76 79 2 3 8 11 12 14 18 20 26 29 32 34 35 36 40 41 50 51 55 58 60 61 62 66 67 76 77 2 3 4 9 12 13 19 21 27 28 30 33 35 36 37 42 51 52 54 56 59 61 62 63 68 77 78 3 4 5 10 13 14 15 20 22 29 31 34 36 37 38 43 52 53 55 57 60 62 63 64 69 78 79 2 4 5 6 11 14 16 21 23 30 32 35 37 38 39 41 44 53 56 58 61 63 64 65 67 70 79 2 3 5 6 7 12 17 22 24 31 33 36 38 39 40 41 42 45 57 59 62 64 65 66 67 68 71 3 4 6 7 8 13 18 23 25 28 32 34 37 39 40 42 43 46 54 58 60 63 65 66 68 69 72 4 5 7 8 9 14 19 24 26 28 29 33 35 38 40 43 44 47 54 55 59 61 64 66 69 70 73 2 5 6 8 9 10 20 25 27 28 29 30 34 36 39 44 45 48 54 55 56 60 62 65 70 71 74 3 6 7 9 10 11 15 21 26 29 30 31 35 37 40 45 46 49 55 56 57 61 63 66 71 72 75 4 7 8 10 11 12 16 22 27 28 30 31 32 36 38 46 47 50 54 56 57 58 62 64 72 73 76 5 8 9 11 12 13 15 17 23 29 31 32 33 37 39 47 48 51 55 57 58 59 63 65 73 74 77 6 9 10 12 13 14 16 18 24 35 36 39 43 45 46 47 51 53 61 62 65 69 71 72 73 77 79 2 7 10 11 13 14 17 19 25 36 37 40 41 44 46 47 48 52 62 63 66 67 70 72 73 74 78 2 3 8 11 12 14 18 20 26 28 37 38 42 45 47 48 49 53 54 63 64 68 71 73 74 75 79 2 3 4 9 12 13 19 21 27 29 38 39 41 43 46 48 49 50 55 64 65 67 69 72 74 75 76 3 4 5 10 13 14 15 20 22 30 39 40 42 44 47 49 50 51 56 65 66 68 70 73 75 76 77 2 4 5 6 11 14 16 21 23 28 31 40 43 45 48 50 51 52 54 57 66 69 71 74 76 77 78 2 3 5 6 7 12 17 22 24 28 29 32 44 46 49 51 52 53 54 55 58 70 72 75 77 78 79 3 4 6 7 8 13 18 23 25 29 30 33 41 45 47 50 52 53 55 56 59 67 71 73 76 78 79 4 5 7 8 9 14 19 24 26 30 31 34 41 42 46 48 51 53 56 57 60 67 68 72 74 77 79 2 5 6 8 9 10 20 25 27 31 32 35 41 42 43 47 49 52 57 58 61 67 68 69 73 75 78 3 6 7 9 10 11 15 21 26 32 33 36 42 43 44 48 50 53 58 59 62 68 69 70 74 76 79 4 7 8 10 11 12 16 22 27 33 34 37 41 43 44 45 49 51 59 60 63 67 69 70 71 75 77 5 8 9 11 12 13 15 17 23 34 35 38 42 44 45 46 50 52 60 61 64 68 70 71 72 76 78 3 5 11 19 22 23 25 26 27 30 32 33 34 38 40 48 49 52 61 62 65 69 71 72 73 77 79 4 6 12 15 20 23 24 26 27 28 31 33 34 35 39 49 50 53 62 63 66 67 70 72 73 74 78 5 7 13 15 16 21 24 25 27 29 32 34 35 36 40 41 50 51 54 63 64 68 71 73 74 75 79 6 8 14 15 16 17 22 25 26 28 30 33 35 36 37 42 51 52 55 64 65 67 69 72 74 75 76 2 7 9 16 17 18 23 26 27 29 31 34 36 37 38 43 52 53 56 65 66 68 70 73 75 76 77 3 8 10 15 17 18 19 24 27 30 32 35 37 38 39 41 44 53 54 57 66 69 71 74 76 77 78 4 9 11 15 16 18 19 20 25 31 33 36 38 39 40 41 42 45 54 55 58 70 72 75 77 78 79 5 10 12 16 17 19 20 21 26 28 32 34 37 39 40 42 43 46 55 56 59 67 71 73 76 78 79 6 11 13 17 18 20 21 22 27 28 29 33 35 38 40 43 44 47 56 57 60 67 68 72 74 77 79 7 12 14 15 18 19 21 22 23 28 29 30 34 36 39 44 45 48 57 58 61 67 68 69 73 75 78 2 8 13 16 19 20 22 23 24 29 30 31 35 37 40 45 46 49 58 59 62 68 69 70 74 76 79 3 9 14 17 20 21 23 24 25 28 30 31 32 36 38 46 47 50 59 60 63 67 69 70 71 75 77 2 4 10 18 21 22 24 25 26 29 31 32 33 37 39 47 48 51 60 61 64 68 70 71 72 76 78 3 5 11 19 22 23 25 26 27 35 36 39 43 45 46 47 51 53 56 58 59 60 64 66 74 75 78 4 6 12 15 20 23 24 26 27 36 37 40 41 44 46 47 48 52 54 57 59 60 61 65 75 76 79 5 7 13 15 16 21 24 25 27 28 37 38 42 45 47 48 49 53 55 58 60 61 62 66 67 76 77 6 8 14 15 16 17 22 25 26 29 38 39 41 43 46 48 49 50 54 56 59 61 62 63 68 77 78 2 7 9 16 17 18 23 26 27 30 39 40 42 44 47 49 50 51 55 57 60 62 63 64 69 78 79 3 8 10 15 17 18 19 24 27 28 31 40 43 45 48 50 51 52 56 58 61 63 64 65 67 70 79 4 9 11 15 16 18 19 20 25 28 29 32 44 46 49 51 52 53 57 59 62 64 65 66 67 68 71 5 10 12 16 17 19 20 21 26 29 30 33 41 45 47 50 52 53 54 58 60 63 65 66 68 69 72 6 11 13 17 18 20 21 22 27 30 31 34 41 42 46 48 51 53 54 55 59 61 64 66 69 70 73 7 12 14 15 18 19 21 22 23 31 32 35 41 42 43 47 49 52 54 55 56 60 62 65 70 71 74 2 8 13 16 19 20 22 23 24 32 33 36 42 43 44 48 50 53 55 56 57 61 63 66 71 72 75 3 9 14 17 20 21 23 24 25 33 34 37 41 43 44 45 49 51 54 56 57 58 62 64 72 73 76 2 4 10 18 21 22 24 25 26 34 35 38 42 44 45 46 50 52 55 57 58 59 63 65 73 74 77
oval
An oval of the block plan is a set of its points, no three of which are on a block. Here are examples of maximum order ovals from this block diagram (in each line an oval is represented by the number of its points):
- Solution 1
1 28 67
- Solution 2 (all ovals)
2 15 28 41 3 16 29 42 4 17 30 43 5 18 31 44 6 19 32 45 7 20 33 46 8 21 34 47 9 22 35 48 10 23 36 49 11 24 37 50 12 25 38 51 13 26 39 52 14 27 40 53
- Solution 3
2 30 59
- Solution 4 (all ovals)
28 41 54 67 29 42 55 68 30 43 56 69 31 44 57 70 32 45 58 71 33 46 59 72 34 47 60 73 35 48 61 74 36 49 62 75 37 50 63 76 38 51 64 77 39 52 65 78 40 53 66 79
- Solution 5
2 32 79
- Solution 6
2 15 28 41
- Solution 7 (all ovals)
28 41 54 67 29 42 55 68 30 43 56 69 31 44 57 70 32 45 58 71 33 46 59 72 34 47 60 73 35 48 61 74 36 49 62 75 37 50 63 76 38 51 64 77 39 52 65 78 40 53 66 79
- Solution 8 (all ovals)
28 41 54 67 29 42 55 68 30 43 56 69 31 44 57 70 32 45 58 71 33 46 59 72 34 47 60 73 35 48 61 74 36 49 62 75 37 50 63 76 38 51 64 77 39 52 65 78 40 53 66 79
literature
- Thomas Beth , Dieter Jungnickel , Hanfried Lenz : Design Theory . 1st edition. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1985, ISBN 3-411-01675-2 .
- Albrecht Beutelspacher : Introduction to Finite Geometry. Volume 1: Block Plans . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Vienna / Zurich 1982, ISBN 3-411-01632-9 .
Individual evidence
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