Formelsammlung Trigonometrie

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Trigonometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Dreieckberechnung

Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck $ABC$ habe die Seiten $a=BC$, $b=CA$ und $c=AB$, die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bei den Ecken $A$, $B$ und $C$. Ferner seien $r$ der Umkreisradius, $\rho$ der Inkreisradius und $\rho _{a}$, $\rho _{b}$ und $\rho _{c}$ die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken $A$, $B$ bzw. $C$ gegenüberliegen) des Dreiecks $ABC$. Die Variable $s$ steht für den halben Umfang des Dreiecks $ABC$: $s={\frac {a+b+c}{2}}$. Schließlich wird die Fläche des Dreiecks $ABC$ mit $F$ bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

Winkelsumme

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$.

Sinussatz

Formel 1:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}$

Formel 2:

wenn $\alpha =90^{\circ }$

$\sin \beta ={\frac {b}{a}}$

$\sin \gamma ={\frac {c}{a}}$

wenn $\beta =90^{\circ }$

$\sin \alpha ={\frac {a}{b}}$

$\sin \gamma ={\frac {c}{b}}$

wenn $\gamma =90^{\circ }$

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}$

$\sin \beta ={\frac {b}{c}}$

Kosinussatz

Formel 1:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\ \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma$

Formel 2:

wenn $\alpha =90^{\circ }$

$\cos \beta ={\frac {c}{a}}$

$\cos \gamma ={\frac {b}{a}}$

wenn $\beta =90^{\circ }$

$\cos \alpha ={\frac {c}{b}}$

$\cos \gamma ={\frac {a}{b}}$

wenn $\gamma =90^{\circ }$

$\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (Satz des Pythagoras)

$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$

$\cos \beta ={\frac {a}{c}}$

Projektionssatz

$a=b\,\cos \gamma +c\,\cos \beta$

$b=c\,\cos \alpha +a\,\cos \gamma$

$c=a\,\cos \beta +b\,\cos \alpha$

Die Mollweideschen Formeln

${\frac {b+c}{a}}={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}},$	${\frac {c+a}{b}}={\frac {\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\sin {\frac {\beta }{2}}}},$	${\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}$
${\frac {b-c}{a}}={\frac {\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}},$	${\frac {c-a}{b}}={\frac {\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\beta }{2}}}},$	${\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}$

Tangenssatz

Formel 1:

${\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

Analoge Formeln gelten für ${\frac {a+b}{a-b}}$ und ${\frac {a+c}{a-c}}$:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$

${\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}$

Formel 2:

wenn $\alpha =90^{\circ }$

$\tan \beta ={\frac {b}{c}}$

$\tan \gamma ={\frac {c}{b}}$

wenn $\beta =90^{\circ }$

$\tan \alpha ={\frac {a}{c}}$

$\tan \gamma ={\frac {c}{a}}$

wenn $\gamma =90^{\circ }$

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}$

$\tan \beta ={\frac {b}{a}}$

Formeln mit dem halben Umfang

Im Folgenden bedeutet $s$ immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks $ABC$, also $s={\frac {a+b+c}{2}}$.

$s-a={\frac {b+c-a}{2}}$

$s-b={\frac {c+a-b}{2}}$

$s-c={\frac {a+b-c}{2}}$

$\left(s-b\right)+\left(s-c\right)=a$

$\left(s-c\right)+\left(s-a\right)=b$

$\left(s-a\right)+\left(s-b\right)=c$

$\left(s-a\right)+\left(s-b\right)+\left(s-c\right)=s$

$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{bc}}}$

$\sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{ca}}}$

$\sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{ab}}}$

$\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-a\right)}{bc}}}$

$\cos {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)}{ca}}}$

$\cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-c\right)}{ab}}}$

$\tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s\left(s-a\right)}}}$

$\tan {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{s\left(s-b\right)}}}$

$\tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{s\left(s-c\right)}}}$

$s=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$

$s-a=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$

Flächeninhalt und Umkreisradius

Der Flächeninhalt des Dreiecks ${\displaystyle }$ wird hier mit $F$ bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit $A$, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke $A$ auszuschließen):

Den Umkreisradius des Dreiecks $ABC$ bezeichnen wir mit $r$.

(Es ist zu beachten, dass die hier benutzten Bezeichnungen $r$, $\rho$, $\rho _{a}$, $\rho _{b}$, $\rho _{c}$ für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen $R$, $r$, $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$ genannt werden.)

Heronsche Formel:

$F={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}$

$F={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}$

$F={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$

$F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}$, wobei $h_{a}$, $h_{b}$ und $h_{c}$ die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Höhen des Dreiecks $ABC$ sind.

$F=2r^{2}\sin \,\alpha \,\sin \,\beta \,\sin \,\gamma$

$F={\frac {abc}{4r}}$

$F=\rho s=\rho _{a}\left(s-a\right)=\rho _{b}\left(s-b\right)=\rho _{c}\left(s-c\right)$

$F={\sqrt {\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}}$

$F=4\rho r\cos \,{\frac {\alpha }{2}}\,\cos \,{\frac {\beta }{2}}\,\cos \,{\frac {\gamma }{2}}$

$F=s^{2}\tan \,{\frac {\alpha }{2}}\,\tan \,{\frac {\beta }{2}}\,\tan \,{\frac {\gamma }{2}}$

Erweiterter Sinussatz:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}$

$a=2r\,\sin \alpha$

$b=2r\,\sin \beta$

$c=2r\,\sin \gamma$

$r={\frac {abc}{4F}}$

In- und Ankreisradien

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius $\rho$ und die Ankreisradien $\rho _{a}$, $\rho _{b}$ und $\rho _{c}$ des Dreiecks $ABC$ vorkommen.

$\rho =\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\tan {\frac {\beta }{2}}=\left(s-c\right)\tan {\frac {\gamma }{2}}$

$\rho =4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}$

$\rho =r\left(\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)$

$\rho ={\frac {F}{s}}={\frac {abc}{4rs}}$

$\rho ={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}$

$\rho ={\frac {a}{\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {b}{\cot {\frac {\gamma }{2}}+\cot {\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {c}{\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}}}$

$a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a=s^{2}+\rho ^{2}+4\cdot \rho \cdot r$

Wichtige Ungleichung: $2\rho \leq r$; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck $ABC$ gleichseitig ist.

$\rho _{a}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\cot {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-c\right)\cot {\frac {\beta }{2}}$

$\rho _{a}=4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}$

$\rho _{a}=r\left(-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)$

$\rho _{a}={\frac {F}{s-a}}={\frac {abc}{4r\left(s-a\right)}}$

$\rho _{a}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s-a}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a+b+c\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{b+c-a}}}$

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für $\rho _{a}$ gilt in analoger Form für $\rho _{b}$ und $\rho _{c}$.

${\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}$

Höhen

Die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Höhen des Dreiecks $ABC$ werden mit $h_{a}$, $h_{b}$ und $h_{c}$ bezeichnet.

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ={\frac {2F}{a}}=2r\sin \beta \sin \gamma =2r\left(\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma \right)$

$h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma ={\frac {2F}{b}}=2r\sin \gamma \sin \alpha =2r\left(\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma \right)$

$h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha ={\frac {2F}{c}}=2r\sin \alpha \sin \beta =2r\left(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \right)$

$h_{a}={\frac {a}{\cot \beta +\cot \gamma }};\;\;\;\;\;h_{b}={\frac {b}{\cot \gamma +\cot \alpha }};\;\;\;\;\;h_{c}={\frac {c}{\cot \alpha +\cot \beta }}$

$F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}$

${\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}$

Hat das Dreieck $ABC$ einen rechten Winkel bei $C$ (ist also $\gamma =90^{\circ }$), dann gilt

$h_{c}={\frac {ab}{c}}$

$h_{a}=b\,$

$h_{b}=a\,$

Seitenhalbierende

Die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks $ABC$ werden $s_{a}$, $s_{b}$ und $s_{c}$ genannt.

$s_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}+bc\cos \alpha }}$

$s_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}+ca\cos \beta }}$

$s_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}+ab\cos \gamma }}$

$s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}={\frac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$

Winkelhalbierende

Wir bezeichnen mit $w_{\alpha }$, $w_{\beta }$ und $w_{\gamma }$ die Längen der von $A$, $B$ bzw. $C$ ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck $ABC$.

$w_{\alpha }={\frac {2bc\cos {\frac {\alpha }{2}}}{b+c}}={\frac {2F}{a\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}$

$w_{\beta }={\frac {2ca\cos {\frac {\beta }{2}}}{c+a}}={\frac {2F}{b\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}$

$w_{\gamma }={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {2F}{c\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}$

Allgemeine Trigonometrie in der Ebene

Gegenseitige Darstellung

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$      („Trigonometrischer Pythagoras“)

$1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$

$1+\cot ^{2}x={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x$

(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen.)

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

$\sin x={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	für	$x\in \left[0,\pi \right]=[0^{\circ },180^{\circ }]$
$\sin x=-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$	für	$x\in \left[\pi ,2\pi \right]=[180^{\circ },360^{\circ }]$
$\sin x={\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right]=[0^{\circ },90^{\circ }]\cup [270^{\circ },360^{\circ }]$
$\sin x=-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]=[90^{\circ },270^{\circ }]$
$\cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right]=[0^{\circ },90^{\circ }]\cup [270^{\circ },360^{\circ }]$
$\cos x=-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$	für	$x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]=[90^{\circ },270^{\circ }]$
$\cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right]=[0^{\circ },90^{\circ }]\cup [270^{\circ },360^{\circ }]$
$\cos x=-{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]=[90^{\circ },270^{\circ }]$
$\tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	für	$x\in \left[0,\pi \right]=[0^{\circ },180^{\circ }]$
$\tan x=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$	für	$x\in \left[\pi ,2\pi \right]=[180^{\circ },360^{\circ }]$
$\tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right]=[0^{\circ },90^{\circ }]\cup [270^{\circ },360^{\circ }]$
$\tan x=-{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$	für	$x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]=[90^{\circ },270^{\circ }]$

Vorzeichen der Winkelfunktionen

$\sin x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{\circ },180^{\circ }\right[$

$\sin x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]180^{\circ },360^{\circ }\right[$

$\cos x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right]$

$\cos x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{\circ },270^{\circ }\right[$

$\tan x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]180^{\circ },270^{\circ }\right[$

$\tan x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{\circ },180^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right[$

Die Vorzeichen von $\cot$, $\sec$ und $\csc$ stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen $\tan$, $\cos$ bzw. $\sin$.

Wichtige Funktionswerte

$\alpha$ (°)	$\alpha$ (rad)	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\tan \alpha$	$\cot \alpha$
$0^{\circ }$	$\,0$	$\,0$	$\,1$	$\,0$	$\pm \infty$
$15^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{12}}$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$	$2-{\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$
$18^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{10}}$	${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$
$30^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{6}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$	${\sqrt {3}}$
$36^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$
$45^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{4}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$1\,$	$1\,$
$54^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{10}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$
$60^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
$72^{\circ }$	${\tfrac {2\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$	${\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$
$75^{\circ }$	${\tfrac {5\pi }{12}}$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})$	${\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})$	$2+{\sqrt {3}}$	$2-{\sqrt {3}}$
$90^{\circ }$	${\tfrac {\pi }{2}}$	$\,1$	$\,0$	$\pm \infty$	$\,0$
$108^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{5}}$	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$	${\tfrac {1}{4}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)$	$-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	$-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$
$120^{\circ }$	${\tfrac {2\pi }{3}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	$-{\tfrac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$	$-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
$135^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{4}}$	${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$-1\,$	$-1\,$
$180^{\circ }$	$\pi \,$	$\,0$	$\,-1$	$\,0$	$\pm \infty$
$270^{\circ }$	${\tfrac {3\pi }{2}}$	$\,-1$	$\,0$	$\pm \infty$	$\,0$
$360^{\circ }$	$2\pi$	$\,0$	$\,1$	$\,0$	$\pm \infty$

Weblink: weitere Werte

Symmetrien

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

$\sin(-x)=-\sin x\;$

$\cos(-x)=+\cos x\;$

$\tan(-x)=-\tan x\;$

$\cot(-x)=-\cot x\;$

$\sec(-x)=+\sec x\;$

$\csc(-x)=-\csc x\;$

Phasenverschiebungen

$\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \sin \left(x+90^{\circ }\right)=\cos x\;$

$\cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cos \left(x+90^{\circ }\right)=-\sin x\;$

$\tan \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cot x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \tan \left(x+90^{\circ }\right)=-\cot x\;$

$\cot \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\tan x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cot \left(x+90^{\circ }\right)=-\tan x\;$

Rückführung auf spitze Winkel

$\sin x\ \;=\;\;\;\sin \left(\pi -x\right)\,\quad {\text{bzw.}}\quad \sin x\ =\;\;\;\sin \left(180^{\circ }-x\right)$

$\cos x\ \,=-\cos \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \cos x\ =-\cos \left(180^{\circ }-x\right)$

$\tan x\ =-\tan \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \tan x\ =-\tan \left(180^{\circ }-x\right)$

Darstellung durch den Tangens des halben Winkels

Mit der Bezeichnung $t=\tan {\tfrac {x}{2}}$ gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges $x$

$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},$		$\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},$
$\tan x={\frac {2t}{1-t^{2}}},$		$\cot x={\frac {1-t^{2}}{2t}},$
$\sec x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},$		$\csc x={\frac {1+t^{2}}{2t}}.$

Additionstheoreme

$\sin(x\pm y)=\sin x\;\cos y\pm \cos x\;\sin y$

$\cos(x\pm y)=\cos x\;\cos y\mp \sin x\;\sin y$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\;\tan y}}={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}}$

$\cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}={\frac {\cos(x\pm y)}{\sin(x\pm y)}}$

Für $x=y$ folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen, für $y=\pi /2$ die Phasenverschiebungen.

$\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\cos ^{2}y-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x-\sin ^{2}y$

$\cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\cos ^{2}y-\sin ^{2}x=\cos ^{2}y+\cos ^{2}x-1=1-\sin ^{2}x-\sin ^{2}y$

Additionstheoreme für Arkusfunktionen

Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme

Summanden	Summenformel	Gültigkeitsbereich
$\arcsin x+\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\leq 0$ oder $x^{2}+y^{2}\leq 1$
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$ und $y>0$ und $x^{2}+y^{2}>1$
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$ und $y<0$ und $x^{2}+y^{2}>1$
$\arcsin x-\arcsin y=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$xy\geq 0$ oder $x^{2}+y^{2}\leq 1$
	$\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x>0$ und $y<0$ und $x^{2}+y^{2}>1$
	$-\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$	$x<0$ und $y>0$ und $x^{2}+y^{2}>1$
$\arccos x+\arccos y=$	$\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y\geq 0$
	$2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y<0$
$\arccos x-\arccos y=$	$-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y\geq 0$
	$\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)$	$x+y<0$
$\arctan x+\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$xy<1$
	$\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x>0$ und $xy>1$
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$	$x<0$ und $xy>1$
$\arctan x-\arctan y=$	$\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$xy>-1$
	$\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x>0$ und $xy<-1$
	$-\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)$	$x<0$ und $xy<-1$

Doppelwinkelfunktionen

$\sin(2x)=2\sin x\;\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\cos(2x)\cos(x)+\sin(2x)\sin(x)=\cos(x)$

$\tan(2x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}$

$\cot(2x)={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}={\frac {\cot x-\tan x}{2}}$

Winkelfunktionen für weitere Vielfache

Die Formel für $\cos(nx)$ steht über $T_{n}(\cos x)=\cos(nx)$ mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.

$\sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x\,$

$=\;\sin x\left(4\cos ^{2}x-1\right)$

$\sin(4x)=8\sin x\;\cos ^{3}x-4\sin x\;\cos x$

$=\;\sin x\left(8\cos ^{3}x-4\cos x\right)$

$\sin(5x)=5\sin x-20\sin ^{3}x+16\sin ^{5}x\;$

$=\;\sin x\left(16\cos ^{4}x-12\cos ^{2}x+1\right)$

$\sin(nx)=n\;\sin x\;\cos ^{n-1}x-{n \choose 3}\sin ^{3}x\;\cos ^{n-3}x+{n \choose 5}\sin ^{5}x\;\cos ^{n-5}x\;-\;+\;\dots$

$=\;\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }(-1)^{j}{n \choose 2j+1}\sin ^{2j+1}x\;\cos ^{n-2j-1}x$

$=\;\sin x\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{n-k-1 \choose k}2^{n-2k-1}\cos ^{n-2k-1}x$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x\,$

$\cos(4x)=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1\,$

$\cos(5x)=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x\,$

$\cos(6x)=32\cos ^{6}x-48\cos ^{4}x+18\cos ^{2}x-1\,$

$\cos(nx)=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\sin ^{2}x\;\cos ^{n-2}x+{n \choose 4}\sin ^{4}x\;\cos ^{n-4}x\;-\;+\;\dots$

$=\;\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{j}{n \choose 2j}\sin ^{2j}x\;\cos ^{n-2j}x$

$\tan(3x)={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}$

$\tan(4x)={\frac {4\tan x-4\tan ^{3}x}{1-6\tan ^{2}x+\tan ^{4}x}}$

$\cot(3x)={\frac {\cot ^{3}x-3\cot x}{3\cot ^{2}x-1}}$

$\cot(4x)={\frac {\cot ^{4}x-6\cot ^{2}x+1}{4\cot ^{3}x-4\cot x}}$

Halbwinkelformeln

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln. Das Vorzeichen wechselt alle 360° ($\sin$ und $\cos$) bzw. alle 180 ° für $\tan$ und $\cot$.

$\sin {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}$

$\cos {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$

$\tan {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}$

$\cot {\frac {x}{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos x}{1-\cos x}}}={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}$

Außerdem gilt für einen beschränkten Bereich von x:

$\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[$

Siehe auch: Halbwinkelsatz

Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:

$\sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$

$\sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

$\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$

$\cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

$\left.{\begin{matrix}\tan x+\tan y={\dfrac {\sin(x+y)}{\cos x\cos y}}\\[1em]\tan x-\tan y={\dfrac {\sin(x-y)}{\cos x\cos y}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \tan x\pm \tan y={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}$

$\left.{\begin{matrix}\cot x+\cot y={\dfrac {\sin(y+x)}{\sin x\sin y}}\\[1em]\cot x-\cot y={\dfrac {\sin(y-x)}{\sin x\sin y}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \cot x\pm \cot y={\frac {\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}}$

Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:

$\cos x+\sin x={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\cdot \cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)$

$\cos x-\sin x={\sqrt {2}}\cdot \cos \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)$

Produkte der Winkelfunktionen

Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:

$\sin x\;\sin y={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos(x-y)-\cos(x+y){\Big )}$

$\cos x\;\cos y={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos(x-y)+\cos(x+y){\Big )}$

$\sin x\;\cos y={\frac {1}{2}}{\Big (}\sin(x-y)+\sin(x+y){\Big )}$

$\tan x\;\tan y={\frac {\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}}=-{\frac {\tan x-\tan y}{\cot x-\cot y}}$

$\cot x\;\cot y={\frac {\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y}}=-{\frac {\cot x-\cot y}{\tan x-\tan y}}$

$\tan x\;\cot y={\frac {\tan x+\cot y}{\cot x+\tan y}}=-{\frac {\tan x-\cot y}{\cot x-\tan y}}$

$\sin x\;\sin y\;\sin z={\frac {1}{4}}{\Big (}\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z){\Big )}$

$\cos x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z){\Big )}$

$\sin x\;\sin y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z){\Big )}$

$\sin x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z){\Big )}$

Aus der Doppelwinkelfunktion für $\sin(2x)$ folgt außerdem:

$\sin x\;\cos x={\frac {1}{2}}\sin(2x)$

Potenzen der Winkelfunktionen

Sinus

$\sin ^{2}x={\frac {1}{2}}\ {\Big (}1-\cos(2x){\Big )}$

$\sin ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\sin x-\sin(3x){\Big )}$

$\sin ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}\cos(4x)-4\cos(2x)+3{\Big )}$

$\sin ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\,\sin x-5\sin(3x)+\sin(5x){\Big )}$

$\sin ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10-15\,\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x){\Big )}$

$\sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\ \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cos {\Big (}(n-2k)(x-{\frac {\pi }{2}}\ ){\Big )}\ ;\quad n\in \mathbb {N}$

$\sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{({\frac {n}{2}}-k)}{n \choose k}\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}$

$\sin ^{n}x={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{({\frac {n-1}{2}}-k)}{n \choose k}\sin {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}$

Kosinus

$\cos ^{2}x={\frac {1}{2}}\ {\Big (}1+\cos(2x){\Big )}$

$\cos ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\cos x+\cos(3x){\Big )}$

$\cos ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}3+4\cos(2x)+\cos(4x){\Big )}$

$\cos ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\cos x+5\cos(3x)+\cos(5x){\Big )}$

$\cos ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10+15\cos(2x)+6\cos(4x)+\cos(6x){\Big )}$

$\cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\ \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cos((n-2k)x);\quad n\in \mathbb {N}$

$\cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{n \choose k}\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}$

$\cos ^{n}x={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{n \choose k}\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}$

Tangens

$\tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}}$

Umrechnung in andere trigonometrische Funktionen

$\sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

$\sin(\arctan x)=\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\sin(\operatorname {arccot} x)=\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\tan(\arcsin x)=\cot(\arccos x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\tan(\arccos x)=\cot(\arcsin x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$

$\tan(\operatorname {arccot} x)=\cot(\arctan x)={\frac {1}{x}}$

Weitere Formeln für den Fall α + β + γ = 180°

Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,$

$\cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1$

$\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}$

$\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}$

$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1$

$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1$

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,$

$\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,$

$-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$

$\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,$

$-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,$

$-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,$

$-\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )$

$-\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1$

$\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=1$

Sinusoid und Linearkombination mit gleicher Phase

${\begin{aligned}a\sin \alpha +b\cos \alpha =&{\begin{cases}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(\alpha +\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)\right)&{\text{, für alle }}a>0\\{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(\alpha -\arctan \left({\tfrac {a}{b}}\right)\right)&{\text{, für alle }}b>0\end{cases}}\end{aligned}}$

$a\sin(x+\alpha )+b\sin(x+\beta )={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha -\beta )}}\cdot \sin(x+\delta ),$

wobei $\delta =\operatorname {atan2} (a\sin \alpha +b\sin \beta ,a\cos \alpha +b\cos \beta ).$

Allgemeiner ist

$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),$

wobei

$a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j})$

und

$\delta =\operatorname {atan2} \left(\sum _{i}a_{i}\sin \delta _{i},\sum _{i}a_{i}\cos \delta _{i}\right).$

Reihenentwicklung

Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)

Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Cosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt $x=0$) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle $x$ aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert ($B_{n}$ bzw. $\beta _{n}$ bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):

${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\pm \cdots \;,\qquad |x|<\infty \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \cdots \;,\qquad |x|<\infty \end{aligned}}$

${\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}(1-2^{2n})\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+\,\cdots \qquad |x|<{\tfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cot x&={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n-1}2^{2n}\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\,\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}$

Produktentwicklung

$\sin x=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)$

$\cos x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)$

Zusammenhang mit der komplexen Exponentialfunktion

Ferner besteht zwischen den Funktionen $\sin x$, $\cos x$ und der komplexen Exponentialfunktion $\exp(\mathrm {i} x)$ folgender Zusammenhang:

$\exp(\mathrm {i} x)=\cos x+\mathrm {i} \sin x=e^{\mathrm {i} x}\;$ (Eulersche Formel)

Weiterhin wird $\cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}=:\operatorname {cis} (x)\;$ geschrieben.

Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:

$\cos x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)+\exp(-\mathrm {i} x)}{2}}$

$\sin x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)-\exp(-\mathrm {i} x)}{2\mathrm {i} }}$

Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.

Sphärische Trigonometrie

Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.

Literatur, Weblinks

• Abramowitz-Stegun: online (Formeln, Theorieteil – ohne den reinen Tabellenteil); eine html- oder pdf-Version kann (legal) heruntergeladen werden.Geschrieben von Adolf Hitler :D